人物簡介
波恩哈德·黎曼黎曼1826年9月17日生於漢諾瓦的布列斯倫茨，1866年7月20日卒於義大利的塞那斯加，終年40歲。
黎曼早年從父親和一位當地教師那裡接受初等教育，中學時代就熱衷於課程之外的數學。1846年入哥廷根大學讀神學與哲學，後來轉學數學；1851年以關於複變函數與黎曼曲面的論文獲博士學位；1854年6月成為哥廷根大學的講師；1857年升為副教授；1859年接替狄利克萊成為教授；1862年7月以後因患肋膜炎及結核病在義大利療養。
黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富於概念的創造與想像，黎曼的工作直接影響了19世紀後半期的數學發展。
人物生平
“愈貧愈堅”的少年天才
比高斯小五十歲。他的出生地布列塞倫茲是德國的一個村莊，高斯那個時候正好在這個地區進行土地丈量。黎曼的父親是個牧師，家裡很貧困，黎曼從小體弱多病，原本也打算做牧師儘早養家餬口，但是他的數學天才讓他有了另一個選擇。黎曼從小酷愛數學。他6歲時開始學習算術，不僅能解決所有留給他的數學問題，而且還經常提一些問題來捉弄他的兄弟姐妹。10歲時他跟一位職業教師學習高級算術和幾何，很快便超過了老師，常常對一些問題能做出更好的答案。
由於經濟拮据，黎曼中學時總是靠步行奔波於家和學校之間，當然沒有能力買書。幸運的是，中學校長及時地發現了他的數學才能，考慮到他經濟上的困難，校長特許黎曼可以從自己私人藏書室里借閱數學書籍。有一次，黎曼借了一部數學家勒讓德的《數論》，這是一部共859頁的4卷本的名著，以晦澀難懂著稱。黎曼十分珍惜，他如饑似渴地自學起來，6天之後，黎曼便學完並歸還了這本書。校長問他：“你讀了幾頁？”黎曼說：“這是一本了不起的書，我已經全部掌握了。”之後，校長就這本書的內容考他。黎曼對答如流，並且回答得很全面。這個時候，他只有14歲。
19歲時，黎曼進入哥廷根大學學習，當時的哥廷根大學由於有高斯而成為世界數學的中心之一，受這裡數學研究氣氛的感染，黎曼徵得父親同意，決定放棄原本選擇的神學，專攻數學。生活雖然清貧，但黎曼學習極為勤勉，此後他轉到柏林大學，獲得了更多數學家的指點，從而進入新的數學領域。1851年底，黎曼將其博士論文呈交給大數學家高斯審閱。高斯在看了論文之後興奮不已，對黎曼的論文做出了高度評價，這對高斯來說是罕見的，因為他對別人的讚賞一向極為吝嗇。高斯評價：“黎曼先生交來的論文提供了令人信服的證據，說明作者對該文所論述的這一問題作了全面深入的研究，作者具有創造性的、活躍的、真正的數學頭腦，具有燦爛豐富的創造力。”
堪與高斯媲美的年輕人
畢業後，貧困依然糾纏著黎曼。但他認為，只要能夠勉強維持生活，能夠讓他研究數學，他就心滿意足了。他從不因經濟上的拮据而感到沮喪。他一方面積極準備講師職位的就職演講論文，另一方面認真從事數學方面的研究工作。他的就職論文具有相當的難度，為了確定論文的選題，他向高斯提交了3個題目，以便讓高斯在其中選定一個。
經過不到兩個月時間的準備，黎曼就做了“論作為幾何基礎的假設”的演講。這被認為是數學史上發表的內容最豐富的長篇論文，其中提出了一種新的幾何體系。該篇論文中一大堆陌生概念，一長串複雜的計算，竟然使被譽為世界數學中心的哥廷根大學全體教員除高斯以外一個個眼花繚亂。論文在表述上堪稱典範。高斯帶著少有的熱情在同事面前作了高度評價。
1847年，黎曼轉到柏林大學學習，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學生。1849年重回哥丁很大學攻讀博士學位，成為高斯晚年的學生。l851年，黎曼獲得數學博士學位；l854年被聘為哥廷根大學的編外講師；1857年晉升為副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘為教授。
忍受清貧堅持數學研究
黎曼學術著作貧窮仍不斷地困擾著黎曼，有時他的一家甚至陷入對口糧都需要算計的地步，不久之後，黎曼的父親和多個兄弟姐妹相繼去世，就是在這種情況下，黎曼仍全身心地投入到數學研究工作之中，終於在眾多的數學領域裡做出了許多奠基性和創造性的研究工作：他從幾何方向開創了複變函數論；他是現代意義的解析數論的奠基者；
他對微積分的嚴格處理作出了重要貢獻；他在數學物理和微分方程等領域內也成果豐碩；他對阿貝爾積分和阿貝爾函式的研究，開創了現代代數幾何；他首創用復解析函式研究數論問題，開創了現代意義的解析數論；
他對超幾何級數的研究，推動了數學物理和微分方程理論的發展。隨著研究成果的問世，黎曼在數學界的學術聲望迅速提高。他受到許多世界著名數學家的讚揚，也最終繼承了高斯生前的教席，獲得了一個科學家可能得到的最高榮譽。
彌留之際
長時期清貧的生活、過度的操勞、發奮的研究，使得黎曼身體虛弱、精力衰竭。1862年婚後不到一個月就開始患胸膜炎和肺結核，在病魔纏身之際，只要有一些力氣，黎曼仍堅持數學研究工作。雖然這個時期黎曼積極就醫和療養，但因病入膏肓終無療效。1866年7月20日，黎曼死於肺結核，他過早地離開了人世，也過早地離開了數學，年僅40 歲。
學術成就
黎曼是世界數學史上最具獨創精神的數學家之一。黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富於對概念的創造與想像。黎曼在其短暫的一生中為數學的眾多領域作了許多奠基性、創造性的工作，為世界數學建立了豐功偉績。
複變函數論的奠基人
黎曼幾何模型19世紀數學最獨特的創造是複變函數理論的創立，它是18世紀人們對複數及複函數理論研究的延續。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿貝爾、維爾斯特拉斯已對單值解析函式的理論進行了系統的研究，而對於多值函式僅有柯西和皮瑟有些孤立的結論。
1851年，黎曼在高斯的指導下完成題為《單複變函數的一般理論的基礎》的博士論文，後來又在《數學雜誌》上發表了四篇重要文章，對其博士論文中思想的做了進一步的闡述，一方面總結前人關於單值解析函式的成果，並用新的工具予以處理，同時創立多值解析函式的理論基礎，並由此為幾個不同方向的進展鋪平了道路。
柯西、黎曼和維爾斯特拉斯是公認的複變函數論的主要奠基人，而且後來證明在處理複函數理論的方法上黎曼的方法是本質的，柯西和黎曼的思想被融合起來，維爾斯特拉斯的思想可以從柯西—黎曼的觀點推導出來。
在黎曼對多值函式的處理中，最關鍵的是他引入了被後人稱“黎曼面”的概念。通過黎曼面給多值函式以幾何直觀，且在黎曼面上表示的多值函式是單值的。他在黎曼面上引入支點、橫剖線、定義連通性，開展對函式性質的研究獲得一系列成果。
經黎曼處理的複函數，單值函式是多值函式的待例，他把單值函式的一些已知結論推廣到多值函式中，尤其他按連通性對函式分類的方法，極大地推動了拓撲學的初期發展。他研究了阿貝爾函式和阿貝爾積分及阿貝爾積分的反演，得到著名的黎曼—羅赫定理，首創的雙有理變換構成19世紀後期發展起來的代數幾何的主要內容。
黎曼為完善其博士論文，在結束時給出其函式論在保形映射的幾個套用，將高斯在1825年關於平面到平面的保形映射的結論推廣到任意黎曼面上，並在文字的結尾給出著名的黎曼映射定理。
黎曼幾何的創始人
黎曼面1854年，黎曼為了取得哥廷根大學編外講師的資格，對全體教員作了一次演講，該演講在其逝世後的兩年(1868年)以《關於作為幾何學基礎的假設》為題出版。演講中，他對所有已知的幾何，包括剛剛誕生的非歐幾何之一的雙曲幾何作了縱貫古今的概要，並提出一種新的幾何體系，後人稱為黎曼幾何。
為競爭巴黎科學院的獎金，黎曼在1861年寫了一篇關於熱傳導的文章，這篇文章後來被稱為他的“巴黎之作”。文中對他1854年的文章作了技術性的加工，進一步闡明其幾何思想。該文在他死後收集在1876年他的《文集》中。
黎曼主要研究幾何空間的局部性質，他採用的是微分幾何的途徑，這同在歐幾里得幾何中或者在高斯、波爾約和羅巴切夫斯基的非歐幾何中把空間作為一個整體進行考慮是對立的。黎曼擺脫高斯等前人把幾何對象局限在三維歐幾里得空間的曲線和曲面的束縛，從維度出發，建立了更一般的抽象幾何空間。
黎曼引入流形和微分流形的概念，把維空間稱為一個流形，維流形中的一個點可以用個可變參數的一組特定值來表示，而所有這些點的全體構成流形本身，這個可變參數稱為流形的坐標，而且是可微分的，當坐標連續變化時，對應的點就遍歷這個流形。
黎曼仿照傳統的微分幾何定義流形上兩點之間的距離、流形上的曲線、曲線之間的夾角。並以這些概念為基礎，展開對維流形幾何性質的研究。在維流形上他也定義類似於高斯在研究一般曲面時刻劃曲面彎曲程度的曲率。他證明他在維流形上維數等於三時，歐幾里得空間的情形與高斯等人得到的結果是一致的，因而黎曼幾何是傳統微分幾何的推廣。
黎曼發展了高斯關於一張曲面本身就是一個空間的幾何思想，開展對維流形內蘊性質的研究。黎曼的研究導致另一種非歐幾何——橢圓幾何學的誕生。
在黎曼看來，有三種不同的幾何學。它們的差別在於通過給定一點做關於定直線所作平行線的條數。如果只能作一條平行線，即為熟知的歐幾里得幾何學；如果一條都不能作，則為橢圓幾何學；如果存在一組平行線，就得到第三種幾何學，即羅巴切夫斯基幾何學。黎曼因此繼羅巴切夫斯基以後發展了空間的理論，使得一千多年來關於歐幾里得平行公理的討論宣告結束。他斷言，客觀空間是一種特殊的流形，預見具有某種特定性質的流形的存在性。這些逐漸被後人一一予以證實。
由於黎曼考慮的對象是任意維數的幾何空間，對複雜的客觀空間有更深層的實用價值。所以在高維幾何中，由於多變數微分的複雜性，黎曼採取了一些異於前人的手段使表述更簡潔，並最終導致張量、外微分及聯絡等現代幾何工具的誕生。愛因斯坦就是成功地以黎曼幾何為工具，才將廣義相對論幾何化。現在，黎曼幾何已成為現代理論物理必備的數學基礎。
微積分理論的創造性貢獻
黎曼學術著作黎曼除對幾何和複變函數方面的開拓性工作以外，還以其對l9世紀初興起的完善微積分理論的傑出貢獻載入史冊。
18世紀末到l9世紀初，數學界開始關心數學最龐大的分支——微積分在概念和證明中表現出的不嚴密性。波爾查諾、柯西、阿貝爾、狄利克萊進而到維爾斯特拉斯，都以全力的投入到分析的嚴密化工作中。黎曼由於在柏林大學從師狄利克萊研究數學，且對柯西和阿貝爾的工作有深入的了解，因而對微積分理論有其獨到的見解。
1854年黎曼為取得哥廷根大學編外講師的資格，需要他遞交一篇反映他學術水平的論文。他交出的是《關於利用三角級數表示一個函式的可能性的》文章。這是一篇內容豐富、思想深刻的傑作，對完善分析理論產生深遠的影響。
柯西曾證明連續函式必定是可積的，黎曼指出可積函式不一定是連續的。關於連續與可微性的關係上，柯西和他那個時代的幾乎所有的數學家都相信，而且在後來50年中許多教科書都“證明”連續函式一定是可微的。黎曼給出了一個連續而不可微的著名反例，最終講清連續與可微的關係。黎曼建立了如現在微積分教科書所講的黎曼積分的概念，給出了這種積分存在的必要充分條件。
黎曼用自己獨特的方法研究傅立葉級數，推廣了保證博里葉展開式成立的狄利克萊條件，即關於三角級數收斂的黎曼條件，得出關於三角級數收斂、可積的一系列定理。他還證明：可以把任一條件收斂的級數的項適當重排，使新級數收斂於任何指定的和或者發散。
解析數論跨世紀的成果
19世紀數論中的一個重要發展是由狄利克萊開創的解析方法和解析成果的導入，而黎曼開創了用複數解析函式研究數論問題的先例，取得跨世紀的成果。
1859年，黎曼發表了《在給定大小之下的素數個數》的論文。這是一篇不到十頁的內容極其深到的論文，他將素數的分布的問題歸結為函式的問題，現在稱為黎曼函式。黎曼證明了函式的一些重要性質，並簡要地斷言了其它的性質而未予證明。
在黎曼死後的一百多年中，世界上許多最優秀的數學家盡了最大的努力想證明他的這些斷言，並在作出這些努力的過程中為分析創立了新的內容豐富的新分支。如今，除了他的一個斷言外，其餘都按黎曼所期望的那樣得到了解決。
那個未解決的問題現稱為“黎曼猜想”，即：在帶形區域中的一切零點都位於去這條線上(希爾伯特23個問題中的第8個問題)，這個問題迄今沒有人證明。對於某些其它的域，布爾巴基學派的成員已證明相應的黎曼猜想。數論中很多問題的解決有賴於這個猜想的解決。黎曼的這一工作既是對解析數論理論的貢獻，也極大地豐富了複變函數論的內容。
組合拓撲的開拓者
在黎曼博士論文發表以前，已有一些組合拓撲的零散結果，其中著名的如歐拉關於閉凸多面體的頂點、棱、面數關係的歐拉定理。還有一些看起來簡單又長期得不到解決的問題：如哥尼斯堡七橋問題、四色問題，這些促使了人們對組合拓撲學(當時被人們稱為位置幾何學或位置分析學)的研究。但拓撲研究的最大推動力來自黎曼的複變函數論的工作。
黎曼在1851年他的博士論文中，以及在他的阿貝爾函式的研究里都強調說，要研究函式，就不可避免地需要位置分析學的一些定理。按現代拓撲學術語來說，黎曼事實上已經對閉曲面按虧格分類。值得提到的是，在其學位論文中，他說到某些函式的全體組成(空間點的)連通閉區域的思想是最早的泛函思想。
比薩大學的數學教授貝蒂曾在義大利與黎曼相會，黎曼由於當時病魔纏身，自身已無能力繼續發展其思想，把方法傳授給了貝蒂。貝蒂把黎曼面的拓撲分類推廣到高維圖形的連通性，並在拓撲學的其他領域作出傑出的貢獻。黎曼是當之無愧的組合拓撲的先期開拓者。
代數幾何的開源貢獻
19世紀後半葉，人們對黎曼研究阿貝爾積分和阿貝爾函式所創造的雙有理變換的方法產生極大的興趣。當時他們把代數不變數和雙有理變換的研究稱為代數幾何。
黎曼在1857年的論文中認為，所有能彼此雙有理變換的方程(或曲面)屬於同一類，它們有相同的虧格。黎曼把常量的個數叫做“類模數”，常量在雙有理變換下是不變數。“類模數”的概念是現在“參模”的特殊情況，研究參模上的結構是現代最熱門的領域之一。
著名的代數幾何學家克萊布希後來到哥廷根大學擔任數學教授，他進一步熟悉了黎曼的工作，並對黎曼的工作給予新的發展。雖然黎曼英年早逝，但世人公認，研究曲線的雙有理變換的第一個大的步驟是由黎曼的工作引起的。
其他領域成果
在數學物理、微分方程等其他領域的豐碩成果
幾何黎曼不但對純數學作出了劃時代的貢獻，他也十分關心物理及數學與物理世界的關係，他寫了一些關於熱、光、磁、氣體理論、流體力學及聲學方面的有關論文。他是對衝擊波作數學處理的第一個人，他試圖將引力與光統一起來，並研究人耳的數學結構。他將物理問題抽象出的常微分方程、偏微分方程進行定論研究得到一系列豐碩成果。
黎曼在1857年的論文《對可用高斯級數表示的函式的理論的補充》，及同年寫的一個沒有發表而後收集在其全集中的一個片斷中，他處理了超幾何微分方程和討論帶代數係數的階線性微分方程。這是關於微分方程奇點理論的重要文獻。
19世紀後半期，許多數學家花了很多精力研究黎曼問題，然而都失敗了，直到1905年希爾伯特和Kellogg藉助當時已經發展了的積分方程理論，才第一次給出完全解。
黎曼在常微分方程理論中自守函式的研究上也有建樹，在他的1858～1859年關於超幾何級數的講義和1867年發表的關於極小正曲面的一篇遺著中，他建立了為研究二階線性微分方程而引進的自守函式理論，即現在通稱的黎曼——許瓦茲定理。
在偏微分方程的理論和套用上，黎曼在1858年～1859年論文中，創造性的提出解波動方程初值問題的新方法，簡化了許多物理問題的難度；他還推廣了格林定理；對關於微分方程解的存在性的狄里克萊原理作了傑出的工作。
黎曼在物理學中使用的偏微分方程的講義，後來由韋伯以《數學物理的微分方程》編輯出版，這是一本歷史名著。
不過，黎曼的創造性工作當時未能得到數學界的一致公認，一方面由於他的思想過於深邃，當時人們難以理解，如無自由移動概念非常曲率的黎曼空間就很難為人接受，直到廣義相對論出現才平息了指責；另一方面也由於他的部分工作不夠嚴謹，如在論證黎曼映射定理和黎曼—羅赫定理時，濫用了狄利克雷原理，曾經引起了很大的爭議。
黎曼的工作直接影響了19世紀後半期的數學發展，許多傑出的數學家重新論證黎曼斷言過的定理，在黎曼思想的影響下數學許多分支取得了輝煌成就。
人物評價
黎曼是數學史上最具獨創精神的數學家之一，在他的諸多思想成果中，他親手創造出來的黎曼幾何，也就是他的就職論文中受到高斯稱讚的新幾何體系，展現出的奇異想像力尤其令人驚嘆。
多年以後，當黎曼的想法在物理界完全成熟、開花結果時，愛因斯坦曾經寫道：“惟有黎曼這個孤獨而不被世人了解的天才，在上個世紀中葉便發現了空間的新概念———空間不再一成不變，空間參與物理事件的可能性才開始顯現。”
黎曼的一生是短暫的，不到40個年頭。他沒有時間獲得象歐拉和柯西那么多的數學成果。但他的工作的優異質量和深刻的洞察能力令世人驚嘆。儘管牛頓和萊布尼茲發現了微積分，並且給出了定積分的論述，但目前教科書中有關定積分的現代化定義是由黎曼給出的。為紀念他，人們把積分和稱為黎曼和，把定積分稱為黎曼積分。
德國數學家希爾伯特曾指出：“19世紀最有啟發性、最重要的數學成就是非歐幾何的發現。”1854年黎曼提出了一種新的幾何學。在這種幾何學中，黎曼把歐氏幾何的第五公設改為“過平面上一已知直線外一點沒有直線與原直線平行”。由此可推出“三角形內角和大於π”的命題，更重要的是他把歐幾里得三維空間推廣到ｎ維空間，從而得到一種新的幾何學－－黎曼非歐幾何學。他的工作遠遠超過前人，他的著作對19世紀下半葉和20世紀的數學發展都產生了重大的影響。他不僅是非歐幾何的創始人之一，而且他的研究成果為50年後愛因斯坦的廣義相對論提供了數學框架。愛因斯坦在創建廣義相對論的過程中，因他缺乏必要的數學工具，長期未能取得根本性的突破，當他的同學、好友，德國數學家格拍斯曼幫助他掌握了黎曼幾何和張量分析之後，才使愛因斯坦打開了廣義相對論的大門，完成了物理學的一場革命，宣告核時代的來臨。愛因斯坦深有體會地說：“理論物理學家越來越不得不服從於純數學的形式的支配。”愛因斯坦還認為理論物理的“創造性原則寓於數學之中。”黎曼的數學思想精闢獨特。正是黎曼的幾何讓愛因斯坦成為在思想上環航宇宙的“麥哲倫”。對於他的貢獻，人們是這樣評價的：“黎曼把數學向前推進了幾代人的時間”。
主要貢獻
他對數學分析和微分幾何做出了重要貢獻，對微分方程也有很大貢獻。他引入三角級數理論，從而指出積分論的方向，並奠定了近代解析數論的基礎，提出一系列問題；他最初引入黎曼曲面這一概念，對近代拓撲學影響很大；在代數函式論方面，如黎曼-諾赫定理也很重要。在微分幾何方面，繼高斯之後建立黎曼幾何學。
他的名字出現在黎曼ζ函式，黎曼積分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼空間，黎曼映照定理，黎曼-希爾伯特問題，柯西-黎曼方程，黎曼思路迴環矩陣中。
黎曼猜想
黎曼留給後人的難題之一就是當今著名的黎曼猜想，是希爾伯特(Hilbert)在1900年提出的二十三個問題的第八問題，現在又被列為千禧年七大難題之一。它要求解決的是黎曼zeta函式ζ(s)的非平凡零點都位於複平面Re(s)=1/2直線上。數學家們把這條直線稱為臨界線。運用這一術語，黎曼猜想可以表述為：黎曼ζ(s)函式的所有非平凡零點都位於臨界線上
處女座名人
| 處女座的特色是有豐富的知性，做事一絲不苟，有旺盛的批判精神（那是因為他們總希望世事能和他們的主觀標準相同），是個完美主義者，極度的厭惡虛偽與不正當的事。無論年紀大小，都保有一顆赤子之心，充滿了對過去的回憶及對未來的夢想。通常他們也很實際，總是可以使愛幻想和實際的性格共存且並榮。處女作的名人在社會中更是獨放異彩。 |
