內容
大學本科的微分幾何內容包括兩部分：局部理論和整體理論。
微分幾何的局部理論研究三維歐氏空間中的曲線和曲面在一點附近的性質，其中的一個主要問題是尋求幾何不變數並確定這些不變數能在什麼程度刻劃曲線和曲面。這就是所謂曲線論和曲面論基本定理的內容。局部微分幾何的一個里程碑是Gauss關於曲面的理論，他建立了基於曲面第一基本形式的幾何，並把歐幾里得幾何推廣到曲面上“彎曲”的幾何。由此開創了曲面的內蘊幾何學的研究，使微分幾何成為一門真正獨立的學科。Riemann將Gauss的理論推廣到高維空間而創立了Riemann幾何並為Einstein的廣義相對論奠定了基礎。
二十世紀三四十年代發展起來的整體微分幾何，其中的一個重要部分是討論流形的曲率是如何影響流形的拓撲乃至度量性質。這方面最早的結果是Gauss-Bonnet定理，它表明曲面的Euler示性數能用Gauss曲率的積分表示。而微分幾何中的剛性問題討論曲率等如何確定流形的度量性質。
微分幾何微分幾何學以光滑曲線(曲面)作為研究對象，所以整個微分幾何學是由曲線的弧線長、曲線上一點的切線等概念展開的。既然微分幾何是研究一般曲線和一般曲面的有關性質，則平面曲線在一點的曲率和空間的曲線在一點的曲率等，就是微分幾何中重要的討論內容，而要計算曲線或曲面上每一點的曲率就要用到微分的方法。
在曲面上有兩條重要概念，就是曲面上的距離和角。比如，在曲面上由一點到另一點的路徑是無數的，但這兩點間最短的路徑只有一條，叫做從一點到另一點的測地線。在微分幾何里，要討論怎樣判定曲面上一條曲線是這個曲面的一條測地線，還要討論測地線的性質等。另外，討論曲面在每一點的曲率也是微分幾何的重要內容。
在微分幾何中，為了討論任意曲線上每一點鄰域的性質，常常用所謂“活動標形的方法”。對任意曲線的“小範圍”性質的研究，還可以用拓撲變換把這條曲線“轉化”成初等曲線進行研究。在微分幾何中，由於運用數學分析的理論，就可以在無限小的範圍內略去高階無窮小，一些複雜的依賴關係可以變成線性的，不均勻的過程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方法。近代由於對高維空間的微分幾何和對曲線、曲面整體性質的研究，使微分幾何學同黎曼幾何、拓撲學、變分學、李群代數等有了密切的關係，這些數學部門和微分幾何互相滲透，已成為現代數學的中心問題之一。微分幾何在力學和一些工程技術問題方面有廣泛的套用，比如，在彈性薄殼結構方面，在機械的齒輪嚙合理論套用方面，都充分套用了微分幾何學的理論。
分支
算術、初等代數、高等代數、數論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、代數幾何學、射影幾何學、拓撲學、分形幾何、微積分學、實變函式論、機率和數理統計、複變函數論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數理邏輯、模糊數學、運籌學、計算數學、突變理論、數學物理學；
黎曼幾何
黎曼幾何以黎曼流形為主要研究對象—有額外結構的光滑流形，他們因此無窮小得看起來像歐幾里得空間。這使得歐幾里得幾何的諸如函式的梯度，散度，曲線的長度等概念得到了推廣；而無須假設空間整體上有這么對稱。
復幾何
研究的對象是複流形。這是一類有著可積的近復結構的微分流形。因為非奇異的復代數簇自然的是複流形，因此與復代數幾何有著緊密的聯繫。
辛幾何
這是研究辛流形的學科。一個辛流形是帶有辛形式（也就是，一個閉的非退化2-形式）的微分流形。
切觸幾何
這是辛幾何在奇數維上的對應物。大致來說，在(2n+1)微流形上的切觸結構是一個1-形式α使得處處非退化。
芬斯勒幾何
芬斯勒幾何以芬斯勒流形為主要研究對象—這是一個有芬斯勒度量的微分流形，也就是切空間被賦予了巴拿赫範數。芬斯勒度量是比黎曼度量一般得多的結構。
相關人物
“微分幾何之父”陳省身
陳省身1930年畢業於南開大學，1934年畢業於清華大學研究院，其後赴德國漢堡大學深造。他曾任教於西南聯合大學、美國普林斯頓大學、芝加哥大學和加州大學伯克利分校，是原中央研究院數學所、美國國家數學研究所、南開數學研究所的創始所長。陳省身開創並領導著整體微分幾何、纖維叢微分幾何、“陳省身示性類”等領域的研究，他是有史以來唯一獲得世界數學界最高榮譽“沃爾夫獎”的華人，被稱為“當今最偉大的數學家”，被國際數學界尊為“微分幾何之父”。國際數學大師、中科院外籍院士陳省身在天津病逝，享年93歲。
