產生
客觀自然界中許多事物，具有自相似的“層次”結構，在理想情況下，甚至具有無窮層次。適當的放大或縮小几 何尺寸，整個結構並不改變。不少複雜的物理現象，背後就是反映著這類層次結構的分形幾何學。
分形幾何在二十世紀七十年代，法國數學家芒德勃羅(B.B.Mandelbrot)在他的著作中探討了“英國的海岸線有多長”這個問題。這依賴於測量時所使用的尺度。
如果用公里作測量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會被忽略；改用米來做單位，測得的總長度會增加，但是一些厘米量級以下的就不能反映出來。由於漲潮落潮使海岸線的水陸分界線具有各種層次的不規則性。海岸線在大小兩個方向都有自然的限制，取不列顛島外緣上幾個突出的點，用直線把它們連起來，得到海岸線長度的一種下界。使用比這更長的尺度是沒有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是沒有意義的。在這兩個自然限度之間，存在著可以變化許多個數量級的“無標度”區，長度不是海岸線的定量特徵，就要用分維。
數學家柯赫(Koch)從一個正方形的“島”出發，始終保持面積不變，把它的“海岸線”變成無限曲線，其長度也不斷增加，並趨向於無窮大。以後可以看到，分維才是“Koch島”海岸線的確切特徵量，即海岸線的分維均介於1到2之間。
這些自然現象，特別是物理現象和分形有著密切的關係，銀河系中的若斷若續的星體分布，就具有分維的吸引子。多孔介質中的流體運動和它產生的滲流模型，都是分形的研究對象。這些促使數學家進一步的研究，從而產生了分形幾何學。
電子計算機圖形顯示協助了人們推開分形幾何的大門。這座具有無窮層次結構的宏偉建築，每一個角落裡都存在無限嵌套的迷宮和迴廊，促使數學家和科學家深入研究。
法國數學家芒德勃羅這位計算機和數學兼通的人物，對分形幾何產生了重大的推動作用。他在1975、1977和1982年先後用法文和英文出版了三本書，特別是《分形：形、機遇和維數》以及《自然界中的分形幾何學(Fractal Geometry of Nature)》，開創了新的數學分支：分形幾何學。“分形”(fractal)這個詞正是芒德勃羅在1975年造出來的，詞根是拉丁文的fractus，是“破碎”的意思。
內容
分形幾何維數是幾何對象的一個重要特徵量，它是幾何對象中一個點的位置所需的獨立坐標數目。在歐氏空間中，人們習慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣，認為點是零維的，還可以引入高維空間，對於更抽象或更複雜的對象，只要每個局部可以和歐氏空間對應，也容易確定維數。但通常人們習慣於整數的維數。
分形理論認為維數也可以是分數，這類維數是物理學家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規則”程度，1919年，數學家從測度的角度引入了維數概念，將維數從整數擴大到分數，從而突破了一般拓撲集維數為整數的界限。
維數和測量有著密切的關係，下面人們舉例說明一下分維的概念。
當人們畫一根直線，如果人們用0維的點來量它，其結果為無窮大，因為直線中包含無窮多個點；如果人們用一塊平面來量它，其結果是0，因為直線中不包含平面。那么，用怎樣的尺度來量它才會得到有限值哪？看來只有用與其同維數的小線段來量它才會得到有限值，而這裡直線的維數為1(大於0、小於2)。
對於人們上面提到的Koch曲線，其整體是一條無限長的線摺疊而成，顯然，用小直線段量，其結果是無窮大，而用平面量，其結果是0(此曲線中不包含平面)，那么只有找一個與“寇赫島”曲線維數相同的尺子量它才會得到有限值，而這個維數顯然大於1、小於2，那么只能是小數了，所以存在分維。經過計算“寇赫島”曲線的豪斯多夫維數(分維數)為d=log(4)/log(3)=1.26185950714...
套用
分形幾何學已在自然界與物理學中得到了套用。如在顯微鏡下觀察落入溶液中的一粒花粉，會看見它不間斷地作無規則運動(布朗運動)，這是花粉在大量液體分子的無規則碰撞(每秒鐘多達十億億次)下表現的平均行為。布朗粒子的軌跡，由各種尺寸的折線連成。只要有足夠的解析度，就可以發現原以為是直線段的部分，其實由大量更小尺度的折線連成。這是一種處處連續，但又處處無導數的曲線。這種布朗粒子軌跡的分維是2，大大高於它的拓撲維數1.
在某些電化學反應中，電極附近成績的固態物質，以不規則的樹枝形狀向外增長。受到污染的一些流水中，粘在藻類植物上的顆粒和膠狀物，不斷因新的沉積而生長，成為帶有許多鬚鬚毛毛的枝條狀，就可以用分維。
自然界中更大的尺度上也存在分形對象。一枝粗乾可以分出不規則的枝杈，每個枝杈繼續分為細杈……，至少有十幾次分支的層次，可以用分形幾何學去測量。
有人研究了某些雲彩邊界的幾何性質，發現存在從1公里到1000公里的無標度區。小於1公里的雲朵，更受地形概貌影響，大於1000公里時，地球曲率開始起作用。大小兩端都受到一定特徵尺度的限制，中間有三個數量級的無標度區，這已經足夠了。分形存在於這中間區域。
在流體力學不穩定性、光學雙穩定器件、化學震盪反映等試驗中，都實際測得了混沌吸引子，並從實驗數據中計算出它們的分維。學會從實驗數據測算分維是最近的一大進展。分形幾何學在物理學、生物學上的套用也正在成為有充實內容的研究領域。
分支學科
算術、初等代數、高等代數、數論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數幾何學、射影幾何學、拓撲學、微積分學、實變函式論、機率和數理統計、複變函數論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數理邏輯、模糊數學、運籌學、計算數學、突變理論、數學物理學
