辛空間

辛空間(symplectic linear space)一種特殊的複線性空間.指帶非退化反對稱雙線性函式的有限維複線性空間。

數學中的辛空間,可能指:辛流形或者辛向量空間,後者是前者的一個特例。辛幾何是以面積為度量的,(歐氏幾何以長度為度量的)。

辛向量空間

數學中,一個辛向量空間是帶有辛形式 ω 的向量空間 V,所謂辛形式即一個非退化斜對稱的雙線性形式。

確切地說,一個辛形式是一個雙線性形式 ω :V × V → R 滿足:

斜對稱:ω(u, v) = −ω(v, u),對所有 u, v ∈ V 成立;
非退化:如果 ω(u, v) = 0 對所有 v ∈ V 成立,那么 u = 0 。
取定一組基,ω 能表示為一個矩陣。以上兩個條件表明這個矩陣必須是斜對稱非奇異矩陣。這不同於下面將介紹的辛矩陣,辛矩陣表示空間的一個辛變換。

如果 V 是有限維的那么維數必須為偶數,因為每個奇數階斜對稱矩陣的行列式為 0。

非退化斜對稱雙線性形式和非退化“對稱”雙線性形式,比如歐幾里德向量空間的內積,的表現非常不同。歐幾里德內積 g,對任何非零向量 v,均有 g(v,v) > 0 成立;但是一個辛形式 ω 滿足 ω(v,v) = 0 。

歐幾里德空間與辛空間的對比關係表

歐幾里德空間辛空間
內積(a,b)——{長度}內積<a,b>——{面積}
單位矩陣I單位矩陣J
正交(x,y)=xTy(xTIy)=0正交<x,y>=<xTJy>=0
(標準)正交基(標準)共軛辛正交基
對稱矩陣AT=A哈密頓矩陣HT=jhj
實對稱矩陣的本徵值皆為實數如果ß 是哈密頓矩陣的本徵值,-ß 也一定是。
實對稱矩陣不同本徵值的本真向量必正交哈密頓矩陣非辛共軛本徵值的本徵向量必辛正交
由實對稱矩陣本徵向量可組成一組標準正交基哈密頓矩陣本徵向量可組成一組標準共軛辛正交基
正交矩陣QT Q=I辛矩陣STJS=J
對稱變換(a,Ab)=(b,Aa)哈密頓變換<a,Hb>=<b,Ha>

參考

^ 不同作者有不同偏好。
Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See chapter 3.
J.柯歇爾、鄒異明,辛幾何引論,科學出版社,1999年2月。

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