抽象空間微分方程

微分方程的一種，是研究抽象空間的重要數學工具。

抽象空間微分方程

正文

巴拿赫空間中的微分方程。是常微分方程理論在無限維空間中的發展，研究可數無窮個常微分方程、泛函微分方程需要巴拿赫空間或希爾伯特空間的理論。它也是用常微分方程的思想和方法，研究偏微分方程的重要工具。
設Χ是巴拿赫空間，D是Χ中的開集，J是實軸上的開區間，函式ƒ∶J×D→Χ是連續的。微分方程

　 (1)

是常微分方程組在巴拿赫空間X 中的自然推廣。設開區間(α,β)嶅J，φ:(α，β)→Χ是強可微的，並且在開區間(α，β)中成立恆等式就稱 x=φ(t)是微分方程(1)的解。
解的存在性 當ƒ關於 x滿足李普希茨條件（見常微分方程初值問題）時，利用逐次逼近法可以證明：對於給定的初值(t0,x0)∈J×D，微分方程(1)滿足初值條件

　 　 (2)

的解存在且惟一。然而,和常微分方程組的情形不同,僅有ƒ 的連續性不足以保證微分方程(1)滿足初值條件(2)的解的存在性。例如，設с0表示滿足 的數列全體所成的空間,它的元素x的範數（見巴拿赫空間）為‖x‖=sup│xk│。 在空間с0中考察含無窮個方程的常微分方程組

(3)

初值條件為

　 (4)

顯然，(3)的右端ƒ是с0上的連續函式。但是,在с0中不存在方程(3)滿足初值條件(4)的解。為了推廣柯西—皮亞諾定理（見常微分方程初值問題）到巴拿赫空間中的微分方程(1)，需要利用有界集的非緊性測度。設B是有界集,它的非緊性測度是α(B)=inf｛d>0：能用有限個直徑小於d的集覆蓋B｝。如果ƒ:J×D→Χ連續,並且對於D的任一有界子集B 成立關係式 α(ƒ(J，B))≤ω(α(B))，其中ω:【0,+)→【0,+)連續,而常微分方程的以(t0,0)為初值的惟一解是ρ 呏0；那么微分方程(1)以(t0，x0)∈J×D為初值的解是存在的。它的證明需要利用紹德爾不動點定理（見不動點理論）。
許多有關常微分方程組的定理，諸如初值問題解的惟一性定理等,都可移到巴拿赫空間中的微分方程(1)。
線性方程　當ƒ(t,x)呏A(t)x+b(t)時，方程(1)成為線性方程

(5)

M.Γ.克列因、J.L.馬塞拉等曾討論A:J→L(Χ),b∶J→Χ連續的情形，其中L(Χ)表示 X上有界線性運算元（見線性運算元）。這時，方程(5)以(t0,x0)∈J×D為初值的解存在且惟一，並且在J上成立常數變易公式

式中U(t,s)∈L(Χ)，滿足關係:U(t,τ)U(τ,s)呏U(t,s)，U(s,s)呏I和稱 U(t,s)是相應於(5)的發展運算元。特別,當A(t)呏A是Χ上的線性有界運算元時,克列因還討論了A(·)具有周期ω的情形，推廣了周期係數線性常微分方程組的理論。對於非線性微分方程

(6)

假設g:J×Χ→Χ連續， J=【0,+),人們還討論了零解的穩定性，推廣了A.M.李亞普諾夫關於穩定性的有關結果（見常微分方程運動穩定性理論）。
但是，對於偏微分方程，例如熱傳導方程

(7)

不能化為具有有界運算元A(t)的線性方程(5)。若以 H姲表示區間【0,1】上一階導數平方可積且在0和1取值為0的實連續函式全體當賦以範數 時所構成的希爾伯特空間，又記x（t）=u（t，·）,b(t)=b(t,·),而當u(s)二階導數平方可積時,那么(7)可以化為Χ =H姲上的線性方程

　 　 (8)

但這裡，A是 H姲上的無界線性運算元。因此，在無限維空間中有必要研究A為無界運算元時的線性方程(8)。
設線性運算元A的定義域D(A)是Χ中的稠密集,A還是閉運算元，如果當λ>β時A的預解運算元(λI-A)-1(見線性運算元)是Χ上的有界線性運算元，並且成立不等式

其中M>0是常數，那么根據希爾-吉田耕作定理,A是Χ上的線性有界運算元半群T(t)(t≥0)的母元。如果 b:J→Χ強可微，可以證明：常數變易公式

(9)

給出微分方程(8)的解。由它可得熱傳導方程、波動方程等解的公式。當b:J→Χ是博赫納可積時,表達式(9)的右端是強連續的，稱為(8)的軟解。
加藤敏夫、田辺広城以及∏.E.索伯列夫斯基等還討論了A(t)是Χ上的無界線性運算元時的微分方程(5)，給出了發展運算元U(t,s)存在以及常數變易公式成立的條件。
為適應非線性拋物型偏微分方程理論、分布參數系統、控制理論等的需要，人們又進一步討論了半線性發展方程

(10)

式中A(t)是Χ上的無界線性運算元,ƒ：J×D →Χ是連續的；還研究了非線性壓縮半群所產生的非線性方程。
在抽象空間微分方程研究中，除解的存在性、惟一性、解對初值的連續性、常數變易公式外，還有人研究周期解的存在性、惟一性，解的穩定性，分歧現象，等等問題，並且研究解的全局結構、高階微分方程等。
關於解的概念，除前述的以強導數為依據的解的概念外，還有以弱導數為基礎的弱解的概念等。

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