內積空間

在數學裡面,內積空間是增添了一個額外的結構的向量空間。這個額外的結構叫做內積,或標量積,或點積。這個增添的結構允許我們談論向量的角度和長度。內積空間由歐幾里得空間抽象而來,這是泛函分析討論的課題。

基本信息

在數學上,內積空間是增添了一個額外的結構的矢量空間。這個額外的結構叫做內積或標量積。這個增添的結構將一對矢量與一個純量連線起來,允許我們嚴格地談論矢量的“夾角”和“長度”,並進一步談論矢量的正交性。內積空間由歐幾里得空間抽象而來(內積是點積的抽象),這是泛函分析討論的課題。

內積空間有時也叫做 準希爾伯特空間,因為由內積定義的距離完備化之後就會得到一個希爾伯特空間。

在早期的著作中,內積空間被稱作 酉空間,但這個詞現在已經被淘汰了。在將內積空間稱為酉空間的著作中,“內積空間”常指任意維(可數/不可數)的歐幾里德空間。

向量空間是歐幾里得空間的推廣。設E是域K上的向量空間,( , )是E上的雙線性函式.若( , )滿足下列條件,則E稱為內積空間,( , )稱為內積:

條件1.對稱性.

條件2.非退化性.

若E,F是域K上的內積空間,則E×F也是K上的內積空間.若dim E=n,dim F=m,{a}與{b}分別是E,F的法正交基,則{ab}是E×F的法正交基.

定義

具有內積運算的線性空間,是n維歐氏空間的無限維推廣.設K是實數域或複數域,H是K上線性空間,如果對H中任何兩個向量x,y,都對應著一個數(x,y)∈K,滿足條件:

1.(共軛對稱性)對任意的x,y∈H,有

內積空間 內積空間

(x,y)=

2.(對第一變元的線性性)對任何x,y,z∈H及α,β∈K,有(αx+βy,z)=α(x,z)+β(y,z).

3.(正定性)對一切x∈H,有(x,x)≥0且

(x,x)=0⇔x=0,

這時(·,·)稱為H中的內積,而稱H為(實或復)內積空間,或準希爾伯特空間.令

內積空間 內積空間

‖x‖= ,

內積空間 內積空間

則按範數‖·‖,H成為賦范線性空間.設(X,‖·‖)是賦范線性空間,X中能定義內積(·,·)並使‖x‖= 恆成立的充分必要條件是X的範數‖·‖滿足下面的平行四邊形公式:對任何x,y∈X,

‖x+y‖+‖x-y‖=2(‖x‖+‖y‖).

完備的內積空間稱為希爾伯特空間,希爾伯特空間H上連續線性泛函的全體記為H,稱H為H的共軛空間.H的共軛空間H就是H本身.事實上,設f∈H,則存在惟一向量y∈H使得對所有x∈H都成立著f(x)=(x,y),且‖f‖=‖y‖(里斯定理).反之,對每個y∈H,f(x)=(x,y)確定了H上一個連續線性泛函f∈H.做H到H的映射C如下:C:y→f(y∈H),則有

內積空間 內積空間

即C實現了H與H*之間的保范共軛線性同構,在此同構意義下,把f與y視為等同,便得H=H.這一性質也稱為希爾伯特空間的自共軛性,它在希爾伯特空間運算元理論中具有很重要的作用.

第一個具體的希爾伯特空間最早是由希爾伯特(Hilbert,D.)在研究積分方程時首先提出的,他在平方可和的無窮實數列{x}全體組成的空間l中規定了內積

內積空間 內積空間

({x},{y})= xy,

把空間l看做歐幾里得空間向無窮維的推廣,從而有效地解決了一類積分方程求解及本徵展開問題.不久馮·諾伊曼(von Neumann,J.)建立了一般希爾伯特空間的理論.希爾伯特空間的概念和理論已被廣泛套用於數學和物理的各個分支.如積分方程、微分方程、隨機過程、函式論、調和分析、數學物理和量子物理等.

內積

內積(inner product),又稱數量積(scalar product)、點積(dot product)

他是一種矢量運算,但其結果為某一數值,並非向量。

設矢量A=[a1,a2,...an],B=[b1,b2...bn] ,則矢量A和B的內積表示為:

A·B=a1×b1+a2×b2+……+an×bn

A·B = |A| × |B| × cosθ

|A|=(a1^2+a2^2+...+an^2)^(1/2);

|B|=(b1^2+b2^2+...+bn^2)^(1/2).

其中,|A| 和 |B| 分別是向量A和B的模,是θ向量A和向量B的夾角(θ∈[0,π])。若B為單位向量,即 |B|=1時,A·B= |A| × cosθ,表示向量A在B方向的投影長度。向量A為單位向量時同理。當向量A與B垂直時,A·B=0。

性質特徵

設X為複線性空間,如果對任給的x, y∈X都恰有一個複數,記為(x, y),與之對應,並且對應具有下列性質:

1. (x, x)≥0; (x, x) = 0必須且只須x = 0

2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z)

3. (αx, y) = α(x, y)

4. (x, y) = (y, x)

對任意的x, y∈X, α∈C,稱(x, y)為x與y的內積,稱X為內積空間。

內積空間有如下特性:

在內積空間X中,x⊥Iy⇔x⊥Py.

內積空間中, “⊥P”具有齊次性和可加性

內積空間中的等腰正交有齊次性和可加性

X為內積空間,若且唯若x⊥Py⇔x⊥Sy.

X為一個賦范線性空間, λ > 0,若x, y∈S(X),且 ∥x + λy∥=∥x−λy∥,則∥x + λy∥2= 1 + λ2就稱X滿足P

λ性質.

Minkowski平面中若存在一個非零的⊥R正交元x0,且∀λ > 0,滿足Pλ性質,則該空間為內積空間.

X為三維實賦范空間,存在非零元素x, y, z∈X且滿足下面兩個條件:1.x⊥Py, x⊥Pz, y⊥Pz,且x與my, x與nz y與qz滿足正交可加性, m, n, q∈Z+;2.x⊥Pαy + βz, y⊥Pαx + βz, z⊥Pαx + βy α, β∈R;則X為內積空間.

有 限 維 空 間X中 存 在 一 組 非 零 的 正 交 元x1, x2, ..., xn且 滿 足類似定理2.2.12中的條件兩兩互相P正交,元素及其整數倍滿足正交可加性且xj⊥∑ni=1αixi,∀αi∈R且αj= 0 j = 1, 2...n則X為內積空間.

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