向量值積分
黎曼－斯蒂爾傑斯型積分 常用的一種向量值積分。如果ƒ（t）是定義在［α，b］上,但取“值”於拓撲線性空間L的函式,則稱ƒ(t)是［α,b］上向量值函式。設ƒ(t)和g(t)分別是［α,b］上向量值和數值函式。任取【α,b】上分點組D：
,作和式
其中
令
如果極限
存在，則稱ƒ關於g在【α,b】上R-S可積，又稱
是ƒ關於g的黎曼-斯蒂爾傑斯積分,簡稱R-S積分，記為
。類似地,也可以引入
。向量值R－S積分有許多類似於數值函式的R-S積分的性質。特別，有分部積分公式：如果
中有一個存在，則另一個必存在，且
。 下面幾種向量值積分都屬於勒貝格型的。
博赫納積分 設(x,φ,μ)是全σ有限測度空間（見測度論），φ(x)是定義在x上，取值於巴拿赫空間B的向量值函式。如果存在 (x,φ)的有限個互不相交的可測集A1, A2, …，An，使φ在Ai(i=1,2,…,n)上的值恆為向量ei,而
上的值恆為0，則稱φ是(向量值)簡單函式。如果存在 x上的一列簡單函式 {φn(x)}，使得‖φn(x)-ƒ(x)‖關於μ幾乎處處收斂於0，則稱ƒ(x)是x上（取值於B）的強可測函式。強可測函式 ƒ(x)的範數‖ƒ(x)‖必是x上的（數值）可測函式。如果φ是簡單函式並且μ(Ai)<∞,那么稱
是φ的博赫納積分,記為
。設ƒ(x)是x上向量值函式，如果存在一個可積的簡單函式列{φn},使得
,就稱ƒ是x上博赫納可積的,並稱
是ƒ在x上的博赫納積分，記為
,可以證明：對於博赫納可積函式ƒ,它的積分值(是向量)不依賴於{φn}的選取;ƒ在x上是博赫納可積的,若且唯若ƒ是強可測的而且‖ƒ(x)‖是 x上的數值可積函式。博赫納積分具有一般測度論中積分的性質。 伯克霍夫積分 設(x，φ，μ)是全σ有限測度空間，{Ai}是x的一列互不相交的可測集,
並且
,稱{Ai}是x的可列剖分。設ƒ(x)是x上取值於巴拿赫空間B的向量值函式,墹={Ai}是x的可列剖分，如果ƒ在每個Ai上有界，並且 
的凸閉包是ƒ(x)關於墹的積分值域，記為J(ƒ,墹)。如果對任何ε>0，存在可列剖分墹(ε)，使集J(ƒ，墹(ε))的直徑小於ε，則稱ƒ在x上伯克霍夫可積,並稱由一切可列剖分墹所得的J(ƒ,墹)的交集(只有一個向量)為ƒ 在x上的伯克霍夫積分,記為
。這種積分除富比尼定理外，具有通常勒貝格積分所具有的線性、可列可加性、絕對連續性等性質。博赫納可積必然伯克霍夫可積（逆命題並不成立），並且兩個積分相等。 更一般地，還可定義取值於具有某種拓撲結構半群上的積分，當取不同拓撲時，它可包含伯克霍夫積分和下面的積分。
蓋爾范德意義下的弱*積分 設(x,φ,μ)是全σ有限測度空間，ƒ(x)是定義在x上取值於巴拿赫空間B的向量值函式。如果對每個g∈B*(B*是B的共軛空間)，g(ƒ(x))是可測函式,則稱ƒ(x)在x上是弱可測的。在空間B是可分情況下,弱可測和強可測一致。如果對每個
在x上是可積的,則必存在ƒ**∈B,使得
,稱ƒ **是ƒ(x)在 X上的蓋爾范德意義下的弱*積分，記為
。 佩蒂斯積分 或稱弱積分。另一種常用的向量值積分。設(x,φ,μ)是全 σ有限測度空間，ƒ(x)是x上取值於巴拿赫空間B的弱可測函式，如果存在b)∈B 使得對一切g∈B*成立
,則稱ƒ在x上是佩蒂斯可積的，b)是ƒ的佩蒂斯積分，記b)為
。博赫納可積必然佩蒂斯可積，並且積分相等。除去富比尼定理外，勒貝格積分的其他性質對於佩蒂斯積分也成立。 向量值測度和積分 設(x,φ)是可測空間,如果E是定義在φ上取值於巴拿赫空間 B的滿足下列條件的向量值集函式：①E(═)=0（═是空集）；②可列可加性,對φ中任何一列互不相交的集{Ai}，
,則E便是φ上取值於B的向量值測度。特別，當B是某個巴拿赫空間（或希爾伯特空間）上的有界線性運算元全體按運算元範數所成的巴拿赫空間時,就稱E為φ上的運算元值測度（見譜論、譜運算元）。此外，和數值測度一樣，也可引入一個向量值測度關於另一個數值測度絕對連續的概念。但一般說來沒有拉東-尼科迪姆定理。但如果空間B或是自反，或是希爾伯特空間，或B的共軛空間B*是可分的,這時就有拉東-尼科迪姆定理。（見測度論）