常微分方程解析理論

常微分方程解析理論

正文

復域上的常微分方程理論；套用複變函數論研究微分方程的性狀，以及把微分方程的解視為由方程定義的解析函式，並直接從微分方程本身研究解的性質的理論。這是基於A.-L.柯西的基本定理,即在對微分方程作極為廣泛的假設下，它的積分是復變數的解析函式。常微分方程解析理論與複變函數理論的發展密切相關。它的先驅性工作是由柯西、（G.F.）B.黎曼、I.L.富克斯、（J.-）H.龐加萊以及P.班勒衛等人所作。
解的存在性和惟一性定理　微分方程理論中最基本的問題是已給的方程是否有解，早先的數學家們力圖通過已知初等函式的有限組合來表示微分方程的解，但在這個觀念下大多數微分方程不可積。這實際上是要求方程的大範圍通解，是不合適的，因為典型的分析運算與極限過程只要求局部的觀點。另一方面，在物理和力學中的問題常是只要求適合某些補充條件的特解。於是柯西提出考慮如下的問題：方程

　(1)

的右端ƒ(z,w)在(z0,w0)點的某個鄰域內解析，問是否存在z的解析函式w(z;z0,w0)，它在w0點的鄰域滿足方程(1)，並且滿足初值條件w(z0;z0,w0)=w0。他證明了在上述假設下，解是存在且惟一。這個定理稱為柯西存在性定理。在復域中通常套用冪級數展開式給出惟一的形式解，然後用與某個已知的收斂冪級數相比較的方法（優函式方法）給出形式解的收斂性證明，從而完成存在性和惟一性定理的證明。
奇點　柯西存在性定理所證明的微分方程的解是局部的。即給出了一個解析函式元素，套用外爾斯特拉斯的解析開拓（見常微分方程初值問題）的方法，從z0點的鄰域沿一途徑Г開拓這個函式元素，如果方程(1)的右端也能沿Γ開拓，則解的開拓元素也滿足方程。如果沿著所有可能的途徑進行開拓，則得到的所有函式元素構成的集合在大範圍定義了一個單值的或多值的函式。現在重要的問題是在解的整個存在區域上來研究它，而解的存在區域和解的性質是由它的奇點所決定的，這裡奇點是指柯西存在性定理不成立的那些點。因此需要研究所考慮的方程的解的奇點的位置和性質。
微分方程的解出現的奇點較解析函式論中的情況要複雜得多。首先當自變數圍繞某些點轉一圈以後，函式從一個值變為另一個值，稱這些點為分支點。代數函式可能具有的奇點稱為代數奇點。非代數奇點的分類基於不定區的概念,函式ƒ在z0點的不定區是指以z0為中心的小圓在ƒ映射下的像集合當圓半徑趨於0時的極根集合。若點z0的不定區由一點組成，則稱z0為超越奇點，否則稱為本性奇點。富克斯還對微分方程解的奇點提出一種重要的區分，即分為固定奇點和流動奇點。前一種由微分方程本身給出其位置和性質,與方程的個別解無關,也即與通解中所含的任意常數無關。後者則依賴於柯西問題的初始值,也就是依賴於特解的選擇,它與任意常數一起變動。例如方程 的解以整數和無窮遠點為固定奇點（極點）；和 分別有解為 和此時с分別是流動代數分支點，流動對數分支點和流動本性奇點。
班勒衛曾證明如下的定理（稱班勒衛定理）：若z0是方程（1）的解的奇點，則（z0，w0）不是方程右端ƒ(z,w)的全純點。
這個定理首次確定解的奇點和方程奇點的關係，同時還說明在方程右端 ƒ（z, w）的全純點處除了全純解之外，不存在非全純的解。當方程右端是w 的有理函式時,班勒曾衛列舉可能出現奇點的種種情況。此外,如果ƒ(z,w)=P(z,w)/Q(z,w),(z0,w0)是P(z,w)和Q(z,w)的全純點, 但P(z0,w0)=Q(z0,z0)=0，這種不確定的情形下,即使在P(z,w)和Q(z,w)是z 和w 的線性函式的情形，其解在z0點的鄰域的性質也相當複雜。
一般地,當對方程的性狀加上某些限制以後,也帶給解的奇點某些限制，例如線性微分方程的解無流動奇點。1887年班勒衛曾證明，未知函式及其導數代數地出現於方程，而係數是z的解析函式的一階代數微分方程,它的解無流動超越奇點和流動本性奇點。
反過來,如果對解的奇點作某些限制時,微分方程也要適合某些條件,例如其解無任何奇點的方程必為一個重要的結論是:如果方程(1)的右端是w 的有理函式，其解無流動代數分支點,則方程(1)必化為如下的黎卡提方程

　(2)

線性常微分方程　一類很重要的常微分方程，未知函式的最高階導數是較低階導數的線性函式，一般可寫成

如果右端恆為零，則稱為齊次線性微分方程。如果知道了齊次方程的通解，則能通過參數變動法（或稱常數變易法，見初等常微分方程）得到非齊次方程的解。因此線性方程的中心問題是研究齊次方程,而n階齊次線性方程的通解能由 n個線性獨立的特解線性地表示出來。這個基本性質大大簡化了對線性方程的研究。此外，在力學和電路理論中有關振動問題常化歸為二階線性方程，純粹數學中的許多完美思想也是從這類方程的研究中產生,而且常常能展現出n階線性方程的許多性質。所以大量的工作是關於二階線性方程的。它的一般形式可寫成

　(3)

已知線性方程的解只有固定奇點，即解w(z)在一點的性質依賴於方程係數 p(z)和 q(z)在該點的性質。許多物理問題引起的微分方程都有奇點，因而對適應這種物理情況的解有較詳細的討論。在奇點領域,方程（3）的解能有如下表示式：設w1(z)和w2(z)是奇點 z0鄰域的兩個線性獨立解，當圍繞z0轉一周時，它們接受一個線性變換，即 令λ1和λ2是A=的特徵根,則當λ1≠λ2時，(3)的解能寫為

當λ1=λ2時，則為

式中ck(k=0,1,2)是常數，uk(z)(k=1,2,3)是在z0點鄰域的洛朗級數。這個表示式的作用在於將解的單值解析部分和多值解析部分明顯地表示出來。另一方面在大多數物理問題中,奇異性比較“弱”,出現較弱奇異性的點稱為正則奇點,其定義如下:若在z0點，uk(z)(k=1,2,3)只有極點,則稱z0為正則的;若uk(z)中至少有一個以z0為本性奇點，則稱z0是非正則的。
下述幾個特殊的二階線性方程在實際套用和理論中都很重要。
富克斯方程 它是奇點全為正則奇點的方程。由於z0為正則奇點的充分必要條件是(z-z0)p(z)和(z-z0)2q(z)在z0點領域全純，因此富克斯方程可寫為

　(4)

它也是具有正則奇點的僅有的方程,其中p1(z)、q1(z)在αk點全純；並稱

img src="image/67-7.gif" align="absmiddle">　(5)

為在αk點的指標方程，其中,。方程(5)的根稱為指標數，記為且有著名的富克斯關係式這裡αn+1=。如果奇點的個數<4且都位於有限平面內，則方程能由奇點的位置和相應的指標數完全確定。特別是當 n=3時即導出超幾何方程。對這個方程的研究有著悠久的歷史，許多傑出的數學家如L.歐拉、C.F.高斯、E.E.庫默爾和黎曼等人都有重要的貢獻。這類方程在很多情形中出現，它與共形映射、差分方程、連分數和自守函式都有關係；且其理論具有形式上的高度完美性，今設 αk(k=1,2,3)為奇點，()為相應的指標數，則方程可寫為

這個形式為黎曼所提出,又稱為黎曼方程,它的積分(解)能由黎曼的P函式所表示，通常記為

一個相關的問題是確定一切多值函式，它們僅以給定的αk(k=1,2,3)為奇點,它的奇異性滿足一定的要求，在每個奇點附近，此函式有兩個獨立的值，而任意三個值w1(z)、w2(z)、w3(z)線性相關，這個問題稱為黎曼問題。它能化為黎曼方程的積分，一般地可通過超幾何函式表示出來，這個問題先後由D.希爾伯特、J.普萊姆利和G.D.伯克霍夫解決和推廣。
若富克斯方程的奇點為0、1和，則引入超幾何函式中常用的參數之後能導出高斯的標準形式

稱為高斯方程或稱超幾何方程。它的解可表為超幾何級數

式中(p)n=p(p+1)(p+2)…(p+n-1)。庫默爾於1834年找出24個變換，使得具有三個至多是簡單奇點的二階富克斯方程化為具有不同參數的超幾何方程。這24個變換對應著解由超幾何級數表示的24個表達式。
勒讓德方程　它是形如

的方程。A.-M.勒讓德於1785年首先考慮α=n為非負整數的情形。若令t=(1-z)/2,則它能化為以n+1、-n和1為參數的超幾何方程，在z=1的全純解為n階勒讓德多項式

。

貝塞爾方程　它是形如

的方程。它的解稱貝塞爾函式（見特殊函式），它和黎卡提方程密切相關，最早出現於丹尼爾第一·伯努利對懸鏈振動的研究中並為歐拉和貝塞爾所研究，近代又發現它在物理和工程上有多方面的套用，在純粹數學的許多問題中也用到貝塞爾函式。
施瓦茲方程　它是與二階線性微分方程緊密相關的一類方程, 它由共形地映w上半平面為z平面上圓弧多邊形內部的函式所滿足，方程為

　(6)

式中稱為施瓦茲導數;α1,α2,…,αn為多邊形的角點, P2n-4(w)和2n-4次多項式。方程(6)的解具有一個重要的性質,即當圍繞奇點環行一周時,它接受一個分式線性變換 又知二階線性方程的兩個線性獨立的解之比亦具有相同的性質，因此方程（6） 的求解問題能化為適當選取的二階線性方程的求解。設G是一分式線性變換群,ƒ（z）為一單值亞純函式，如對於任一g∈G有ƒ(g(z))=ƒ（z）,則稱ƒ（z）是關於群 G的自守函式。自守函式與二階微分方程有下述的關係：設w＝ƒ(z)為自守函式，則z作為w 的函式可用微分方程z″+uz=0的兩個獨立解z1(w)和z2(w)之商表示<即的反函式為w＝ƒ(z)。
非線性微分方程　由於許多物理系統是非線性的，從而描述它們的微分方程也是非線性的，即未知函式或其導數非線性地出現於方程之中。對於非線性方程一般性質的了解不像線性方程那樣完備和深入，而是知道得很少，而且它具有線性方程理論中所未見的新現象。下面只敘述非線性方程理論中的一些事實。
1856年C.A.布里奧和J.-C.布凱考慮如下的方程

　(7)

式中 F(z,w) 是在某個雙圓柱內兩個變數的全純函式。首要的問題是方程(7)是否存在全純解。他們證明:如果q不是正整數。則（7）在z=0有惟一的全純解w(z)，且w(0)=0。若q=1，p≠0，則不存在全純解。若p=0，q=1，則有無窮多個全純解。他們還討論下面的方程

　(8)

式中P(x,y)是x和y的常係數多項式,並稱(8)為k階布里奧－布凱方程,或簡稱BB方程。他們指出,每一橢圓函式滿足某個k階BB方程,並且BB方程具有大範圍單值亞純解的必要條件是代數曲線P(x,y)=0的虧格為0或1。
19世紀末，班勒衛首先討論了方程式中F(z,w,w┡)是w和w┡的有理函式，係數為z的解析函式。他考慮定出只具有固定分支點和本性奇點的方程。B.O.岡比埃和富克斯對此問題亦作出重要貢獻。一般方法是由班勒衛提出,基本技巧是他的α－方法。他們找到了50個不同的類型,但大多數能化為已知的方程,如線性方程或黎卡提方程。只有 6種類型的方程導出新的超越亞純函式,這些方程是:

< align="center"> 等等，並稱這些方程為班勒衛方程,它們的解稱為班勒衛函式。1913～1914年，P.L.布特魯對一類二階方程發展了漸近積分的方法，並指出班勒衛方程的解在某種意義下漸近於外爾斯特拉斯橢圓函式。
常微分方程理論中奈望林納理論的套用　20世紀20年代芬蘭數學家R.奈望林納創立了亞純函式值分布理論。不久日本數學家吉田耕作套用此理論於一類非線性常微分方程的研究。50年代H.維蒂希更系統地研究了奈望林納理論對常微分方程理論的意義，使得這一理論成為研究一類方程解的某些大範圍性質（解的增長性，值分布性質，因子分解等）的重要工具。作為柯西存在惟一性定理的直接推論是下述常係數微分方程

　(9)

的每一非常數亞純解 w(z)都不取αj(j=1,2,…,n)為值。另方面，根據亞純函式皮卡定理，任一非常數亞純函式能取所有的復值為值，至多除去兩個例外。因此，如果方程(9)具有非常數亞純解,則必有方程(9)的右端對w的次數≤2。對此,在1913年J.馬爾姆奎斯特得到了重要的推廣,他證明了下述的馬爾姆奎斯特定理：設方程(1)的右端是z和w的有理函式，如果方程存在全平面單值超越亞純解,則(1)必為黎卡提方程。1933～1934年吉田耕作套用奈望林納理論給出這個定理一個漂亮的證明，並且大大推進了結果。由於微分方程的解更多出現為有限多值的解析解，即代數體函式解，他還考慮了方程

(10)

的代數體解存在的必要條件,其中P(z,w)和Q(z,w)分別是w 的p次和q次多項式，係數是z的有理函式。他證明：若方程（10）存在v值超越代數體解，則必有p≤2nv和q≤2n(v-1)。特別地,當 n=v=1時即是馬爾姆奎斯特定理。
上述類型的定理有種種證明和推廣，其中一個重要的補充是由N.施泰因梅茨所得，他證明了：若(10)存在超越亞純解, 則經過適當的分式線性變換能化為6類標準的方程之一或它們的冪。這些方程除黎卡提方程外是:

等等。
此外，對於代數微分方程亦有相應的結果，中國數學工作者對相當廣泛的高階代數微分方程存在“較快”增長的代數體函式解的必要條件亦得到精確形式的馬爾姆奎斯特型定理。近年來奈望林納理論還被用來研究常微分方程復振盪理論、解的增長性估計和解的因子分解等。

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