仿射變換:仿射變換，又稱仿射映射，是指在幾何中，一個向量空間進行一次線性 -百科知識中文網

定義

一般定義

一個對向量平移，與鏇轉放大縮小 A的仿射映射為

上式在齊次坐標上，等價於下面的式子

在分形的研究里，收縮平移仿射映射可以製造制具有自相似性的分形。

一個在兩個仿射空間之間的仿射變換，是在向量上呈現線性之坐標點的變換（即為空間中點與點之間的向量）。以符號表示的話，使得，決定任一對點的線性變換：

或者

其他定義

. 我們可以將此定義繼續延伸：假設選定一原點，且B表示其圖像，如此即代表對任何向量

假設選定一原點

，此即可以拆解成一仿射變換使得，特定而言

總結即，很直觀的， f包含了一個變換與線性坐標。

給定同一場中的兩個仿射空間

與，一函式為一仿射映射若且唯若對任一加權點的集合

我們得到

此定義等價於 f 保留了質心。

表示

如上所示，仿射變換為兩函式的複合：平移及線性映射。普通向量代數用矩陣乘法呈現線性映射，用向量加法表示平移。正式言之，於有限維度之例中，假如該線性映射被表示為一矩陣“A”，平移被表示為向量，一仿射映射f可被表示為

增廣矩陣

使用一增廣矩陣與一增廣向量, 用一矩陣乘法同時表示平移與線性映射是有可能的。此技術需要所有向量在其末端擴長 “1”且所有矩陣都於底部添加一排零，右邊擴長一列轉換向量，及右下角添加一個 “1”。

等價於

以上所言之擴長矩陣被稱為 “仿射變換矩陣”，又或稱為 “投射變換矩陣” （其可套用於投影轉換).

此表示法以 K之半直積與 GL( n, k)展示了所有可逆仿射變換的集合。此為一個於眾函式集結下進行的一個群，被稱為仿射群。

普通矩陣向量乘法總將原點映射至原點，因此無法呈現平移（原點必須映射至其他點）。藉由於所有向量上擴增一坐標 “1”，我們將原空間映至更高維空間的一個子集合以進行變換。在該空間中，原本之空間占有了擴長坐標一的1的子集合。因此原空間的原點可在(0,0, ... 0, 1). 原空間的平移可藉由更高維度空間的線性轉換來達成（即為錯切變換）。在高維度中的坐標即為齊次坐標的一例。假如原空間為歐幾里德, 則更高維空間為實射影空間.

使用齊次坐標的優點為，藉由相對應矩陣之乘積，可將任意數目的仿射變換結合為一。此性質被大量運用於計算機圖形，計算機視覺與機器人學。

性質

一仿射變換保留了：

（1）點之間的共線性，例如通過同一線之點（即稱為共線點)在變換後仍呈共線。

（2）向量沿著一線的比例，例如對相異共線三點與的比例同於及。

（3）帶不同質量的點之質心。

一仿射變換為可逆的若且唯若A為可逆的。在矩陣表示中，其逆元為

可逆仿射變換組成仿射群，其中包含具n階的一般線性群為子群，且自身亦為一n+1階的一般線性群之子群。當A為常數乘以正交矩陣時，此子集合構成一子群，稱之為相似變換。舉例而言，假如仿射變換於一平面上且假如A之行列式為1或-1，那么該變換即為等面積變換。此類變換組成一稱為等仿射群的子集。一同時為等面積變換與相似變換之變換，即為一平面上保持歐幾里德距離不變之保距映射。這些群都有一保留了原定向的子群，也就是其對應之 A的行列式大於零。在最後一例中，即為三維中剛體運動之群（鏇轉加平移）。假如有一不動點，我們可以將其當成原點，則仿射變換被縮還到一線性變換。這使得變換更易於分類與理解。舉例而言，將一變換敘述為特定軸的鏇轉，相較於將其形容為平移與鏇轉的結合，更能提供變換行為清楚的解釋。只是，這取決於套用與內容。