發展歷史
伽羅瓦伽羅瓦從1828年開始研究代數方程理論(當時他並不了解阿貝爾的工作)，他試圖找出為了使一個方程存在根式解，其係數所應滿足的充分和必要條件。到1832年他完全解決了這個問題。在他臨死的前夜，他將結果寫在一封信中，留給他的一位朋友。1846年他的手稿才公開發表。伽羅瓦完全解決了高次方程的求解問題，他建立於用根式構造代數方程的根的一般原理，這個原理是用方程的根的某種置換群的結構來描述的，後人稱之為“伽羅瓦理論”。伽羅瓦理論的建立，不僅完成了由拉格朗日、魯菲尼、阿貝爾等人開始的研究，而且為開闢抽象代數學的道路建立了不朽的業績。
思想建立
在幾乎整整一個世紀中，伽羅瓦的思想對代數學的發展起了決定性的影響。伽羅瓦理論被擴充並推廣到很多方向。戴德金曾把伽羅瓦的結果解釋為關於域的自同構群的對偶定理。隨著20世紀20年代拓撲代數系概念的形成，德國數學家克魯爾推廣了戴德金的思想，建立了無限代數擴張的伽羅瓦理論。伽羅瓦理論發展的另一條路線，也是由戴德金開創的，即建立非交換環的伽羅瓦理論。1940年前後，美國數學家雅各布森開始研究非交換環的伽羅瓦理論，並成功地建立了交換域的一般伽羅瓦理論。伽羅瓦理論還特別對尺規作圖問題給出完全的刻畫。人們已經證明：這種作圖問題可歸結為解有理數域上的某些代數方程。這樣一來，一個用直尺和圓規作圖的問題是否可解，就轉化為研究相應方程的伽羅瓦群的性質。內容介紹
1、域的正規可分擴張定義為伽羅瓦擴張。
2、若K/F為伽羅瓦擴張，K上的F-自同構的集合構成一個群，定義為伽羅瓦群，記為Gal(K/F)。
3、對於H是Gal(K/F)的子群，稱K中在H中任意元素作用下不動元的集合為H的不動域，這是一個中間域。
4、對於伽羅瓦擴張，擴張的中間域和伽羅瓦群的子群有一一對應的關係。
5、F⊂E⊂K形式的伽羅瓦擴張，E/F是正規擴張若且唯若Gal(K/E)是Gal(K/F)的正規子群。
6、在特徵為0的域上，多項式的根可用根式解若且唯若其分裂域擴張的伽羅瓦群是可解群。
廣義上的伽羅瓦理論還包括尺規作圖，諾特方程，循環擴張，庫默爾理論等內容。
