蒙提霍爾問題，亦稱為蒙特霍問題或三門問題（英文：Monty Hall problem），是一個源自博弈論的數學遊戲問題，大致出自美國的電視遊戲節目 Let's Make a Deal。問題的名字來自該節目的主持人蒙提·霍爾（Monty Hall）。
這個遊戲的玩法是：參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是：換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？如果嚴格按照上述的條件的話，答案是會—換門的話，贏得汽車的機會率是 2/3。
這條問題亦被叫做蒙提霍爾悖論：雖然該問題的答案在邏輯上並不自相矛盾，但十分違反直覺。這問題曾引起一陣熱烈的討論。
問題與解答
問題
以下是蒙提霍爾問題的一個著名的敘述，來自 Craig F. Whitaker 於1990年寄給《展示雜誌》（Parade Magazine）瑪莉蓮·莎凡（Marilyn vos Savant）專欄的信件：
假設你正在參加一個遊戲節目，你被要求在三扇門中選擇一扇：其中一扇後面有一輛車；其餘兩扇後面則是山羊。你選擇了一道門，假設是一號門，然後知道門後面有甚么的主持人，開啟了另一扇後面有山羊的門，假設是三號門。他然後問你：“你想選擇二號門嗎？”轉換你的選擇對你來說是一種優勢嗎？
以上敘述是對 Steve Selvin 於1975年2月寄給 American statistician 雜誌的敘述的改編版本。如上文所述，蒙提霍爾問題是遊戲節目環節的一個引申；蒙提·霍爾在節目中的確會開啟一扇錯誤的門，以增加刺激感，但不會容許玩者更改他們的選擇。如蒙提·霍爾寄給 Selvin 的信中所寫：
如果你上過我的節目的話，你會覺得遊戲很快—選定以後就沒有交換的機會。
—(letsmakeadeal.com)
Selvin 在隨後寄給 American Statistician 的信件中(1975年8月) 首次使用了“蒙提霍爾問題”這個名稱。
一個實質上完全相同的問題於1959年以“三囚犯問題”（three prisoners problem）的形式出現在馬丁·葛登能（Martin Gardner）的《數學遊戲》專欄中。葛登能版本的選擇過程敘述得十分明確，避免了《展示雜誌》版本里隱含的前提條件。
這條問題的首次出現，可能是在1889年約瑟夫·貝特朗所著的 Calcul des probabilités 一書中。 在這本書中，這條問題被稱為“貝特朗箱子悖論”（Bertrand's Box Paradox）。
Mueser 和 Granberg 透過在主持人的行為身上加上明確的限制條件，提出了對這個問題的一種不含糊的陳述︰
參賽者在三扇門中挑選一扇。他並不知道內里有甚么。
主持人知道每扇門後面有什麼。
主持人必須開啟剩下的其中一扇門，並且必須提供換門的機會。
主持人永遠都會挑一扇有山羊的門。
如果參賽者挑了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門。
如果參賽者挑了一扇有汽車的門，主持人隨機在另外兩扇門中挑一扇有山羊的門。
參賽者會被問是否保持他的原來選擇，還是轉而選擇剩下的那一道門。
轉換選擇可以增加參賽者的機會嗎？
解答
問題的答案是可以：當參賽者轉向另一扇門而不是繼續維持原先的選擇時，贏得汽車的機會將會加倍。
有三種可能的情況，全部都有相等的可能性(1/3)︰
參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。
參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。
參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。
在頭兩種情況，參賽者可以透過轉換選擇而贏得汽車。第三種情況是唯一一種參賽者透過保持原來選擇而贏的情況。因為三種情況中有兩種是透過轉換選擇而贏的，所以透過轉換選擇而贏的機率是2/3。
如果沒有最初選擇，或者如果主持人隨便打開一扇門，又或者如果主持人只會在參賽者作出某些選擇時才會問是否轉換選擇的話，問題都將會變得不一樣。例如，如果主持人先從兩隻山羊中剔除其中一隻，然後才叫參賽者作出選擇的話，選中的機會將會是 1/2。
另一種解答是假設你永遠都會轉換選擇，這時贏的唯一可能性就是選一扇沒有車的門，因為主持人其後必定會開啟另外一扇有山羊的門，消除了轉換選擇後選到另外一隻羊的可能性。因為門的總數是三扇，有山羊的門的總數是兩扇，所以轉換選擇而贏得汽車的機率是2/3，與初次選擇時選中有山羊的門的機率一樣。
參考資料
Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara (1992). "A three-door game show and some of its variants". The Mathematical Scientist 17, no. 2, pp. 89–94
Bohl, Alan H.; Liberatore, Matthew J.; and Nydick, Robert L. (1995). "A Tale of Two Goats ... and a Car, or The Importance of Assumptions in Problem Solutions". Journal of Recreational Mathematics 1995, pp. 1–9.
Gardner, Martin (1959). "Mathematical Games" column, Scientific American, October 1959, pp. 180–182.
Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (1999), "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making" (University of Missouri Working Paper 99-06). http://econwpa.wustl.edu:80/eps/exp/papers/9906/9906001.html (retrieved July 5, 2005).
Nahin, Paul J. Duelling idiots and other probability puzzlers. Princeton University Press, Princeton, NJ: 2000 (ISBN 0-691-00979-1); pp. 192-193.
Selvin, Steve (1975a). "A problem in probability" (letter to the editor). American Statistician 29(1):67 (February 1975).
Selvin, Steve (1975b). "On the Monty Hall problem" (letter to the editor). American Statistician 29(3):134 (August 1975).
Tierney, John (1991). "Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?", The New York Times July 21, 1991, Sunday, Section 1; Part 1; Page 1; Column 5
vos Savant, Marilyn (1990). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 12 (Feb. 17, 1990). [cited in Bohl et al., 1995]
Tijms, Henk (2004), Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life , Cambridge University Press, New York, pp. 213-215.
一些線上模擬實驗的網站
台灣的：
http://ibm9.math.nsysu.edu.tw/StatDemo/ConditionalProbability/ConditionalProbability.html
下面這幾個是外文的：
http://www.grand-illusions.com/monty.htm
http://www.letsmakeadeal.com/problem.htm
http://www.cut-the-knot.org/hall.shtml
對上述問題的通俗提法與分析：
提問：
有這樣一個遊戲，在三扇關閉的門中，獎品藏在其中的一個後面，其餘的門後面都是假的獎品。參加遊戲的觀眾從三扇門中選擇一個，並站在這個門的前面。主持人(知道獎品藏在哪裡)打開其他兩扇門中的一個，向該觀眾顯示一個假的獎品，並且問他足否想改變其最初的選擇。問：為了使選中獎品的機率達到最大，這位觀眾應該堅持最初的選擇，還是選擇另外一扇門，還是這兩者根本沒有區別?
分析：
問題的實質是區分“堅持不換贏得獎品”的機率與“堅持換贏得獎品”的機率，
分析之前假設設有編號1、2、3的三個門，獎品在1號門後。
堅持不換贏得獎品的機率是三分之一，因為：
若第一次選中1號門，則得獎品，
若第一次選中2號門，則不得獎品，
若第一次選中3號門，則不得獎品；
綜上所述，得獎品的機率為三分之一。
堅持換贏得獎品的機率為三分之二，因為：
若第一次選中1號門，則改變選擇後不得獎品；
若第一次選中2號門，則改變選擇後得獎品;
若第一次選中3號門，則改變選擇後得獎品;
綜上所述，得獎品的機率為三分之二。
數學遊戲
| 數學遊戲即包含了數學中的遊戲和使用數學玩的遊戲。大部分數學遊戲的規則都非常簡單，但解決它們時，有時卻需用到很高深的幾何學、圖論、拓撲學、組合數學、邏輯學或博弈論等的知識。對某些數學遊戲的研究，更有助推動一些數學話題的發展。不少數學家都是數學遊戲的愛好者。 |
