來歷
蒙提霍爾問題（Monty Hall Problem）也稱為車羊問題或三門問題，是一個源自博弈論的數學遊戲問題，大致出自美國的電視遊戲節目“Let’s Make a Deal”。問題的名字來自該節目的主持人蒙提·霍爾（Monty Hall）
內容
說，從前有一個人獲得了一個猜獎的機會，他的面前有三扇門，分別是A、B、C門，其中一扇門後面藏有獎品，另外兩扇門後面沒有獎品。猜獎人是不知道哪扇門後面有獎品的，但是主持人知道哪扇門後面有獎品。猜獎人首先選擇了A門，主持人沒有立即打開A門，而是打開了B門，讓猜獎人看到B門後面是沒有獎品的。這時，主持人要給猜獎人一個重新選擇的機會，說：“你是選擇A門不變呢，還是改為選擇C門呢？”，於是，問題出來了：如果你是猜獎人，你是選擇A呢還是改選C呢？為什麼？
各種證明
一。
1.當參賽者轉向另一扇門而不是繼續維持原先的選擇時，贏得汽車的機會將會加倍。
有三種可能的情況，全部都有相等的可能性(1/3)：
參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。
參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。
參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。
在頭兩種情況，參賽者可以透過轉換選擇而贏得汽車。第三種情況是唯一一種參賽者透過保持原來選擇而贏的情況。因為三種情況中有兩種是透過轉換選擇而贏的，所以透過轉換選擇而贏的機率是2/3。
2.當參賽者挑選了一個門（A）之後，這個門後是汽車的機率為1/3，剩下兩個門（B和C）作為一個整體的話機率為2/3。 而主持人打開剩下兩個門當中一個有山羊的門（B）後，則剩下兩個門（B和C）的機率僅僅由那個沒打開的門（C）獨自承擔，因此那個門（C）的機率為2/3。
3.
貝葉斯公式是這樣的，B1，B2,B3…Bn為一系列互不相容事件（不可能同時發生），且B1，B2，B3…Bn構成全體樣本Ω（P（B1)+P(B2)+…+P(Bn)=1)，則對任意事件A⊂Ω，有：
P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/[P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+(P(A|Bn)P(Bn)]
其中P(Bi|A)表示在A發生的條件下Bi發生的機率，以此類推。
具體到這個問題中，就是嘉賓換門（A）這一事件發生的條件下，抽中車（B1）的機率。
由於只需考慮換門和中車這兩個事件，故對全體樣本Ω作如下設定：
第一次選羊a，換，中 第一次選羊b，換，中 第一次選羊a，不換，不中 第一次選羊b，不換，不中 第一次選車，換，不中 第一次選車，不換，中
從而按照B1（中）,B2（不中）的劃分為
B1，中，1/2機率（注意是在已經打開一扇門二選一的前提下）
B2，不中，1/2機率
所要求的機率表達式為
P(B1|A)=P(B1)P(A|B1)/[P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)]
接下來求P(A|B1)和P(A|B2)。
P(A|B1)即在抽中的情形下之前換門的機率。依照對樣本Ω的設定和條件機率公式：
P(A|B1)=P(AB1)/P(B1)=中車且換門的機率/中車的機率=（2/6）/（3/6）=2/3
同理，P(A|B2)=1/3。
代入貝葉斯公式，有：
P(B1|A)=(1/2)(2/3)/[(2/3)(1/2)+(1/3)(1/2)]=(1/3)/(1/2)=2/3
故而所求的嘉賓換門的情形下中車的機率為2/3。
既然用貝葉斯定則證明過了，我想這個問題到此可以CLOSE了。
4.
這個問題的計算需要利用條件機率的知識——設A,B是兩個事件,且P(B)>0,那么稱P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)為在事件B發生的條件下事件A發生的條件機率。
先算A門中獎的機率：
設事件A為{A門中獎}，B為{B門不中獎},則P(A)=1\3,P(B)=2\3。遊戲者選擇了A 號門，B 號門後面是山羊，則A門中獎的條件機率P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)=P(A)*P(B)/P(B)=1/3.
所以該條件下A門中獎的機率為1/3。
再算C門中獎的機率：
設事件A為{BC門後有獎}，B為{B門不中獎},則P(A)=2\3,P(B)=2\3。遊戲者選擇了A 號門，B 號門後面是山羊，則BC門後有獎的條件機率P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)=P(A)*P(B)/P(B)=2/3,又因為B 號門後面是山羊
所以C門中獎的機率=BC門後有獎的條件機率=2/3.
可見改選C門中獎的機率更高，應該改選C。
