預備知識
數項級數的定義
收斂級數
收斂級數
收斂級數給定一個數列 ，對它的各項依次用“+”號連線起來的表達式 “ ” 稱為數項級數，或稱為無窮級數，也可以簡稱為級數，其中 稱為數項級數的通項。
收斂級數
收斂級數上述數項級數常寫作： ，或者簡單記作 。
數項級數的前n項和
收斂級數
收斂級數數項級數的前 n 項和記作 ，且有 。
部分和數列
收斂級數
收斂級數 收斂級數稱數列 ，即數列 為數項級數 的部分和數列。
定義
收斂級數 收斂級數
收斂級數
收斂級數 收斂級數 收斂級數 收斂級數 收斂級數
收斂級數若數項級數 的部分和數列 收斂於 （即 ），則稱數項級數 收斂，即 為收斂級數，且稱 為數項級數 的和，記作 。
收斂級數分條件收斂級數和絕對收斂級數兩大類，其性質與有限和（有限項相加）相比有本質的差別，例如交換律和結合律對它不一定成立，收斂級數概念是柯西於1821年引進的。
基本性質
性質1
收斂級數 收斂級數
收斂級數
收斂級數設 k 為常數，如果級數 收斂於 ，則級數 也收斂，且收斂於 。
收斂級數 收斂級數
收斂級數證明：設級數 和 的部分和分別為 ，
收斂級數則有 ，
收斂級數 收斂級數 收斂級數於是 ，這就表明級數 也收斂，且收斂於 。
收斂級數 收斂級數
收斂級數
收斂級數註：由關係式 可知，如果數列 沒有極限且 ，那么 也沒有極限。由此我們得到結論：級數的每一項同乘一個不為零的常數後，它的收斂性不變。
性質2
收斂級數
收斂級數
收斂級數
收斂級數
收斂級數如果級數 、 分別收斂於 ，則級數 也收斂，且收斂到 。
收斂級數 收斂級數 收斂級數證明：設級數 與 的部分和分別為 ，
收斂級數
收斂級數則級數 的部分和為 ，
收斂級數 收斂級數 收斂級數於是 ，這就表明了級數 收斂，且收斂於 。
注意：性質2說明，兩個收斂級數逐項相加或逐項相減之後仍為收斂級數。
性質3
在級數中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數的收斂性。
證明：我們只需證明“在級數的前面部分去掉、加上有限項，不會改變級數的收斂性”，因為其他情形（即在級數中去掉、加上或改變有限項的情形）都可以看成在級數的前面部分先去掉有限項，然後再加上有限項的結果。
收斂級數以去掉k項為例，設級數為 ，
收斂級數去掉前 k 項，得到新的級數 ，
收斂級數
收斂級數
收斂級數記原級數前 k+n 項的和為 ，前 k 項和為 ，去掉前 k 項得到的新級數的前 n 項和為 ，
收斂級數則有 。
收斂級數 收斂級數 收斂級數易得當 時， 與 同時有極限，或者同時沒有極限，
收斂級數 收斂級數即級數 與 同時收斂或同時發散。
類似的，可以證明在級數前面加上有限項，不會改變級數的收斂性。
性質4
收斂級數若級數 收斂，則對此級數的項任意加括弧後所得的級數
收斂級數仍然收斂，且其和不變。
收斂級數 收斂級數 收斂級數證明：設級數 的前 n 項部分和 ，加括弧後所成的級數的前 k 項的和為 ，則有：
收斂級數，
收斂級數，
...
收斂級數，
收斂級數 收斂級數 收斂級數 收斂級數
收斂級數可見，數列是數列的一個子數列。由數列的收斂性以及收斂子列與其子列的關係可知：數列必定收斂，且有。這說明了加括弧後所成的級數收斂，且其和不變。
注意：如果加括弧後所成的級數發散，則原級數也發散。
性質5
收斂級數如果級數收斂，則必有。
級數收斂性
等比級數（幾何級數）
收斂級數等比級數 ：
收斂級數
收斂級數
收斂級數（1）當 時，收斂，且收斂於；
收斂級數 收斂級數（2）當時，發散。
p級數
收斂級數p級數：
收斂級數（1）當 p>1 時，收斂；
收斂級數（2）當 p ≤1時，發散。
