倒序相加法

倒序相加法，是解決數列求和問題的一種經典方法，相傳是大數學家高斯在幼年時首先使用。人們因此受到啟發，創造了倒序相加法。在等差數列前n項和公式的推導過程中，就使用了這種方法。

基本信息

• 中文名：倒序相加法
• 英文名：Reverse phase additive

• 學科：數學
• 類型：求和方法

概念

如果一個數列{an}，與首末項等距的兩項之和等於首末兩項之和，可採用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數列的和，這一求和方法稱為倒序相加法 （可用於求等差數列的性質公式------ Sn=n( a 1+ a n)/2 ）

高斯的故事

200多年前，高斯的算術老師提出了下面的問題：

1+2+3+4+5+...+100=？

據說，當其他同學忙於把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：

（1+100）+（2+99）+...+（50+51）=101×50=5050

例題

如求1+2+3+...+n=?

S=1+2+3+...+(n-1)+n

S=n+(n-1)+...+3+2+1

則2S=(n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(n+1)=(n+1)n

=n(n+1)

故S=n(n+1)/2

舉例2

求數列：2 4 6……2n的前2n項和

解答：

2 4 6 …… 2n

2n 2(n-1) 2(n-2)…… 2

設前n項和為S,以上兩式相加

2S=[2+(2n)]+[4+2(n-1)]+[6+2(n-2)]+……+[(2n)+2] 共n個2n+2

故：S=n(2n+2)/2=n(n+1)