簡介
如果數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和可用此法來求，如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的
錯位相減法解題
錯位相減法是求和的一種解題方法。在題目的類型中：一般是a前面的係數和a的指數是相等的情況下才可以用。
例子1
S=a+2a^2+3a^3+……+(n-2)a^(n-2)+(n-1)a^(n-1)+na^n （1）
在（1）的左右兩邊同時乘上a。 得到等式（2）如下：
aS= a^2+2a^3+3a^4+……+(n-2)a^(n-1)+(n-1)a^n+na^(n+1) （2）
用（1）-（2），得到等式（3）如下：
（1-a）S=a+(2-1)a^2+(3-2)a^3+……+(n-n+1)a^n-na^(n+1) （3）
（1-a）S=a+a^2+a^3+……+a^(n-1)+a^n-na^(n+1)
S=a+a^2+a^3+……+a^(n-1)+a^n用這個的求和公式。
（1-a）S=a+a^2+a^3+……+a^(n-1)+a^n-na^(n+1)
最後在等式兩邊同時除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了。
例子2
求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x^(n-1)（x不等於0）
解：當x=1時，Sn=1+3+5+…..+(2n－1)=n^2
當x不等於1時，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x^(n-1)
所以xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4……..+(2n-1)·x^n
所以兩式相減的(1－x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+...+x^(n-2)]－(2n-1)·x^n
化簡得：Sn=(2n-1)·x地n+1次方－(2n+1)·x^n+(1+x)/(1-x)^2
Sn=(2n+1)*2^n
Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n
2Sn=3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)
兩式相減得
-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1)
=6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1)
=6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比數列求和)
=(1-2n)*2^(n+1)-2
所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2
例子3
求等比數列求和公式
Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
兩邊同時乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，這樣寫看的更清楚些）
兩式相減
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n
例題1
已知等差數列an中，a1=3，點(an，an+1（角碼，後不解釋）)在直線y=x+2上
①求數列an的通項公式
②若bn=an×3的n次方，求數列前n項和Tn
解：①點（an,an+1)在直線y=x+2上，an+1=an+2（2為常數）
即an+1-an=2.所以an是以3為首項，2為公差的等差數列
②bn=an×3^n，bn=(2n+1)×3^n
Tn=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1)×3的n-1次方+（2n+1)×3^n……一
3Tn=3×3²+5×3³+…+（2n-1)×3的n次方+（2n+1)×3^(n+1)……二
一減二得 9+2×(9(1-3的n-1次方）\1-3)-(2n+1)×3的n+1次方=-2n×3^(n+1)
所以Tn=n×3^(n+1)
故得出結果。
盤點高中數學名詞
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