定義
三等分角線(Trisectrix)是可以用來三等分任意角的曲線。
性質
三角形有關角三等分線的交點構成的三角形有許多美妙的性質。
![三等分角線](/img/5/275/wZwpmL3UTNzkTOwQDOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0gzL2MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
定理一:與任意△ABC每邊相鄰的每兩個優角相鄰的三等分線的反向延長線的交點構成正三角形,且其邊長為 。
定理二:三角形任意一個優角與另兩個劣角中,與每邊相鄰的每兩個角相鄰的三等分線(或其反向延長線)的交點構成正三角形,且邊BC、AC、AB所正對的正三角形的邊長分別是:
![三等分角線](/img/5/136/wZwpmL0gTO5AzNwcTMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3EzL0QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
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![三等分角線](/img/9/2b2/wZwpmL0IjN1UTO0AzNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczLwgzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
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![三等分角線](/img/c/790/wZwpmL4QDN1ATM0QTOxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0kzL1UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
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定理三:任意△ABC任意一邊相鄰的兩個優角相鄰三等分線的反向延長線的交點,及與這邊相鄰的劣角與外角相鄰的三等分線(或其反向延長線)的交點構成正三角形,且邊BC、AB、AC所正對的三角形的邊長分別是:
![三等分角線](/img/c/ff1/wZwpmL1AjM4kTOwczNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3czL2YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![三等分角線](/img/d/049/wZwpmL3gzM3gzMxADMyMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwAzL2MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![三等分角線](/img/4/8eb/wZwpmL4UzNyMzM3QDOxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0gzL0gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
定理四:任意△ABC任意一邊相鄰的兩個外角相鄰三等分線的交點,及與這邊相鄰的劣角與優角相鄰三等分線(或其反向延長線)的交點構成正三角形,且點A、B、C所對的正三角形的邊長分別是:
![三等分角線](/img/7/6e0/wZwpmL3IDO2AzM2YTOxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2kzLxczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![三等分角線](/img/5/299/wZwpmLwQDM2QjMxYDMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2AzL1UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![三等分角線](/img/2/867/wZwpmLzQjM0UzNycjNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3YzLzczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
定理五:任意△ABC沒有公共頂點的任意一個劣角、一個優角及其夾邊所對的另兩個外角中,與每邊相鄰的每兩個角相鄰的三等分線(或其反向延長線)的交點構成正三角形,且六個正三角形的邊長分別是:
![三等分角線](/img/8/c7e/wZwpmL4MDN3kTNzADOxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwgzLyQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![三等分角線](/img/9/e53/wZwpmLxgzN5IDN0YTOxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2kzL2EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![三等分角線](/img/0/ad4/wZwpmLyAzM2MTOxMDOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzgzLxIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![三等分角線](/img/4/dc3/wZwpmL3UjMzATN1MzMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzMzL1EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![三等分角線](/img/c/854/wZwpmL4ITMykDN4UDMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1AzLyAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![三等分角線](/img/c/1c6/wZwpmLyUDN1ITN0cjNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3YzL2UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
定理六:任意△ABC任意兩個優角及其夾邊所對的兩個外角中,與每邊相鄰的每兩個角相鄰的三等分線(或其反向延長線)的交點構成正三角形,且邊BC、AB、AC所對的正三角形的邊長分別是:
![三等分角線](/img/3/681/wZwpmL1UTOzgjM3ITOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLykzLxQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![三等分角線](/img/2/5a1/wZwpmLwYDM3ADN1YzNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2czL1gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![三等分角線](/img/8/1d4/wZwpmLwcDMwgDN3gjNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4YzL3gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
定理七:任意一邊相鄰的兩個劣角的相鄰三等分線的交點,及與這邊相鄰的優角與外角的相鄰三等分線的交點構成正三角形,且點A、B、C所對的正三角形的邊長分別是:
![三等分角線](/img/a/6db/wZwpmL1MzN2ITN2QTMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0EzLxczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![三等分角線](/img/c/b44/wZwpmL4gDOyEzM4UDOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1gzL4UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![三等分角線](/img/3/219/wZwpmLxMjN3UjN2ADMyMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwAzL0QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
類型
蝸牛三等分角線(有些文獻直接稱此曲線為三等分角線)
馬克勞林三等分角線
等邊三葉(Equilateraltrefoil)
契爾恩豪森三次曲線
丟勒的大青葉(Durer'sfolium)
三次拋物線(Cubicparabola)
偏心率為2的雙曲線
三葉的玫瑰線
拋物線
相關曲線
與三等分角線相關的曲線是等分角線(sectrix),是可以將任意角分為整數個的曲線。以下是一些等分角線:
阿基米德螺線
割圓曲線
馬克勞林等分角線
Ceva等分角線(SectrixofCeva)
Delanges等分角線(SectrixofDelanges)