黑洞數

黑洞數

黑洞數又稱陷阱數,是類具有奇特轉換特性的整數。

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黑洞數

介紹

黑洞數又稱陷阱數,是類具有奇特轉換特性的整數。 任何一個數字不全相同整數,經有限“重排求差”操作,總會得某一個或一些數,這些數即為黑洞數。"重排求差"操作即組成該數得排後的最大數去重排的最小數。
舉個例子,三位數的黑洞數為495
簡易推導過程:隨便找個數,如297,三個位上的數從小到大和從大到小各排一次,為972和279,相減,得693
按上面做法再做一次,得到594,再做一次,得到495
之後反覆都得到495
再如,四位數的黑洞數有6174
神秘的6174-黑洞數
隨便造一個四位數,如a1=1628,先把組成部分1628的四個數字由大到小排列得到a2=8621,再把1628的四個數字由小到大排列得a3=1268,用大的減去小的a2-a1=8621-1268=7353,把7353按上面的方法再作一遍,由大到小排列得7533,由小到大排列得3357,相減7533-3367=4176
把4176再重複一遍:7641-1467=6174。
如果再往下作,奇蹟就出現了!7641-1467=6174,又回到6174。
這是偶然的嗎?我們再隨便舉一個數1331,按上面的方法連續去做:
3311-1133=2178 8721-1278=7443 7443-3447=3996 9963-3699=6264
6624-2466=4174 7641-1467=6174
好啦!6174的“幽靈”又出現了,大家不妨試一試,對於任何一個數字不完全的四位數,最多運算7步,必然落入陷阱中。
這個黑洞數已經由印度數學家證明了。
在數學中由有很多有趣,有意義的規律等待我們去探索和研究,讓我們在數學中得到更多的樂趣。
蘇聯的科普作家高基莫夫在他的著作《數學的敏感》一書中,提到了一個奇妙的四位數6174,並把它列作“沒有揭開的秘密”。不過,近年來,由於數學愛好者的努力,已經開始撥開迷霧。
6174有什麼奇妙之處?
請隨便寫出一個四位數,這個數的四個數字有相同的也不要緊,但這四個數不準完全相同,例如 3333、7777等都應該排除。
寫出四位數後,把數中的各位數字按大到小的順序和小到大的順序重新排列,將得到由這四個數字組成的四位數中的最大者和最小者,兩者相減,就得到另一個四位數。將組成這個四位數的四個數字施行同樣的變換,又得到一個最大的數和最小的數,兩者相減……這樣循環下去,一定在經過若干次(最多7次)變換之後,得到6174。
例如,開始時我們取數8208,重新排列後最大數為8820,最小數為0288,8820—0288=8532;對8532重複以上過程:8532-2358=6174。這裡,經過兩步變換就掉入6174這個“陷階”。
需要略加說明的是:以0開頭的數,例如0288也得看成一個四位數。再如,我們開始取數2187,按要求進行變換:
2187 → 8721-1278=7443→7443-3447=3996→9963-3699=6264→6642-2466=4176→7641-1467=6174。
這裡,經過五步變換就掉入了“陷阱”——6174。
拿6174 本身來試,只需一步:7641-1467=6174,就掉入“陷阱”祟也出不來了。
所有的四位數都會掉入6174設的陷阱,不信可以取一些數進行驗證。驗證之後,你不得不感嘆6174的奇妙。
任何一個數字不全相同整數,經有限次“重排求差”操作,總會得某一個或一些數,這些數即為黑洞數。"重排求差"操作即組成該數得排後的最大數去重排的最小數。
黑洞數的性質及套用
【摘要】本文提出建立了黑洞數的概念,分別對整數黑洞數、模式黑洞數、方冪餘式黑洞數的一般性質做了闡述。並給出了二元一次方程 ax- by- c =0的求根法則。
【關鍵字】 黑洞數、 整數黑洞數 、 模式黑洞 數 、方冪餘式黑洞數。
【引言】 在日常學習計算中,化簡含有未知數的代數式或方程經常會得到x-x=0之結果。此前,人們只是把這種情況定義為“此算式沒有意義”而終結。黑洞數理論的出現 ,讓人們看到了代數式或方程中未知數可任意取值時的另一層含義。本文提出證明的方冪餘式黑洞數定理,揭示出a, m不互素條件下的餘數循環規律,它將與歐拉餘數定理互為補充,構造出全體整數的方冪式除法餘數運算法則。本文給出的二元一次方程ax-by-c=0的求根公式,將成為餘數新理論套用的一個範例。
定義1、在含有未知數變數的代數式中,當未知數變數任意取值時其運算結果都不改變,我們把這時的數字結果叫黑洞數。根據運算性質的不同,我們把黑洞數分為以下三種類型:Ⅰ、整數黑洞數 Ⅱ、模式黑洞數 Ⅲ、方冪餘式黑洞數
Ⅰ、整數黑洞數
在前文《模根因數定理與模根剩餘法判定素數》中,在建立選加因數概念後,我們證明了整數因數定理:
若a、b都是大於1的整數,且有g = ab,則有:
g+an=a(b+n)
其中 : n = 0、1、2、3……
根據整數因數定理,我們即可得到如下整數黑洞數
ab+an
--------------- = a
b+n
其中: n = 0、1、2、3 ……
這裡,不論未知變數怎樣取值,上式的結果都等於a.。
例如:取a=7, b=3,ab=21, 則有:
21+7n
---------------- = 7
3+n
其中: n = 0、1、2、3 ……
套用方面的例子:
全體偶數 = 2 (n) + 2, ( n = 0、1、2、3 ……)
自然數中的全部合數 = 4 +2n + h(2+n)
其中: n = 0、1、2、3 ……
對n的每個取值都重複取
h = 0、1、2、3 ……
Ⅱ、模式黑洞數
模式黑洞數是指模的同餘式mn+L條件下的黑洞數。 在前文《模根因數定理與模根剩餘法判定素數》一文中,模根因數定理(1)式:
若 a>1, b>1,且 ab = mk + L,則有:
m(k+aN)+L
-------------------------- = a
b+mN
其中:N = 0、1、2、3 ……
這時的a值就是模式黑洞數。
套用實例:
取a=7, b=13, 則 ab= 91=mk + L = 2×45×1
2(45+7N)+1
根據上式得到:-------------------------- =7
13+2N
其中:N = 0、1、2、3 ……
套用實例:素數通式定理
若ap是同餘式2N+1模根數列的條件剩餘數,
當 ap ≠ 4 + 3n + h (3 +2n ) 時
其中:n = 0、1、2、3 ……
對n的每個取值都重複取
h = 0、1、2、3 ……
則條件通式 2+1 的值恆是素數。
模式黑洞數性質是我們建立素數代數理論體系的根本前提。
Ⅲ、方冪餘式黑洞數
在方冪餘式除法 a^n÷m ≡L關係中,當得到 L^n÷m ≡L 時 (n = 1、2、3 ……), 我們稱這時的L為因數a的m值黑洞數。
例如:在 3×5 = 15 關係時
我們得到: 3^4÷15 ≡ 6
這時有: 6^n÷15 ≡ 6 (n = 1、2、3 ……)
所以我們稱6是因數3的15值的方冪餘式黑洞數。
為了方便,我們引入符號 ⊙(m)a = L 來表示方冪餘式黑洞數關係。即上式結果可表示為 ⊙(15)3 = 6,符號“⊙”在這裡讀作黑洞數。
下面我們將證明方冪餘式黑洞數定理;
定理1: 如a>1, b>1,(a ,b)=1 且 ab = m ;
則有:a^ф(b)≡⊙ (mod m)
即這時:⊙^n ≡⊙ (mod m)
其中:n = 1、2、3 ……
證:我們分別對b為素數,b為素數乘方,b為多個素數乘積時的情況加以證明。
當b為素數時:
取a=7, b=19, 則 ab = 7×19 = 133
由定理關係得到:
7^ф(19)=7^18≡77 (mod 133)
而 77^n≡77 (mod 133) 此時定理關係成立
當b為素數的n次乘方時:
取 a = 7, b=5^2=25, 則 ab = 7×25 = 175
由定理關係得到:
7^ф(25)=7^20≡126 (mod 175)
而 126^n≡126 (mod 175) 此時定理關係也成立
當b為多個素數乘積時:
取 a = 7, b= 3×11=33,則 ab = 7×33 = 231
由定理關係得到:
7^ф(33)=7^20≡133 (mod 231)
而 133^n≡133 (mod 231) 所述定理關係式成立
故定理1得證
方冪餘式黑洞數的一些性質及套用:
1、因數a的黑洞數減1的平方除m的餘數是因數b的黑洞數;
即:如 ⊙(m)a = e1, 則 (e1-1)^2÷m ≡ e2 = ⊙(m)b
2、m所含黑洞數的個數等於m所含素因數個數做為2底方次數減2;
即:m為素數沒有黑洞數
m有2個素因子時有2^2-2 = 2個黑洞數
m含有3個素因子時有2^3-2 = 6個黑洞數
3、在m定值後,如果把全部 an (n = 1、2、3 …… 但n≠b) 值都做為底數,這時的
a^c÷m≡⊙的c值變化規律。與m的餘數循環節a^c÷m≡1規律具有相同的變節和不變節特性。
即: 若 7^10≡⊙ (mod m) 關係成立,
則 (7^2)5≡⊙ (mod m) 關係也成立;
套用方面的例子:
若 b>c ,我們有以下二元一次方程 ax -by -c = 0 求根法則:
首先: 取 ab = m
計算: a^ф(b)÷m ≡ ⊙
計算: ⊙×c ÷m ≡S1
計算: (⊙-1)×c ÷m ≡S2
x =S1÷a
這時
y =S2÷b
這時的 x,y 值是方程的最小整數根。
但方程 ax- by- c = 0 有無限多組整數根,它的全部整數根集可表示為:
x = S1÷a + b n
y = S2÷b + a n
其中:n = 0、1、2、3 ……
實例1:求方程 13x- 7y -3 = 0 的最小整數根和全部整數根?
首先: 取13×7 = 91
計算: 13^ф(7)=13^6÷91 ≡ 78
計算: 78×3÷91 ≡52
計算: (78-1)×3÷91 ≡49
x =52÷13=4
這時
y =49÷7=7
這時的 x,y 值是方程的最小整數根。
但方程 ax- by- c = 0 有無限多組整數根,它的全部整數根集可表示為:
x = 4 + 7n
y = 7 + 13n
其中:n = 0、1、2、3 ……
實例2:求方程 13x- 8y +4 = 0 的最小整數根和全部整數根?
首先: 取13×8 = 104
計算: 13^ф(8)=13^4÷91 ≡ 65
計算: 65×(-4)÷104 ≡ -52≡52
計算: (65-1)×(-4)÷104 ≡ -48≡56
x =52÷13=4
這時
y =56÷8=7
這時的 x,y 值是方程的最小整數根。
但方程 13x- 8y +4 = 0 有無限多組整數根,它的全部整數根集可表示為:
x = 4 + 8n
y = 7 + 13n
其中:n = 0、1、2、3 ……
隨著時間的推移,相信人們會看到黑洞數理論的更多成果。

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