數學術語
基本解釋
1.指整數除法中被除數未被除盡部分，且餘數的取值範圍為0到除數之間（不包括除數）。
例如27除以6，商數為4，餘數為3。
定義
在整數的除法中，只有能整除與不能整除兩種情況。當不能整除時，就產生餘數，所以餘數問題在國小數學中非常重要。
取餘數運算：
a mod b = c 表示 整數a除以整數b所得餘數為c。
如 7 mod 3 = 1
性質
數學問題（1）餘數和除數的差的絕對值要小於除數的絕對值（適用於實數域）；
（2）被除數=除數×商+餘數；
除數=（被除數-餘數）÷商；
商=（被除數-餘數）÷除數；
餘數=被除數-除數×商。
（3）如果a，b除以c的餘數相同，那么a與b的差能被c整除。例如，17與11除以3的餘數都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a與b的和除以c的餘數（a、b兩數除以c在沒有餘數的情況下除外），等於a，b分別除以c的餘數之和（或這個和除以c的餘數）。例如，23，16除以5的餘數分別是3和1，所以（23+16）除以5的餘數等於3+1=4。注意：當餘數之和大於除數時，所求餘數等於餘數之和再除以c的餘數。例如，23，19除以5的餘數分別是3和4，所以（23+19）除以5的餘數等於（3+4）除以5的餘數。
（5）a與b的乘積除以c的餘數，等於a，b分別除以c的餘數之積（或這個積除以c的餘數）。例如，23，16除以5的餘數分別是3和1，所以（23×16）除以5的餘數等於3×1=3。注意：當餘數之積大於除數時，所求餘數等於餘數之積再除以c的餘數。例如，23，19除以5的餘數分別是3和4，所以（23×19）除以5的餘數等於（3×4）除以5的餘數。
性質（4）（5）都可以推廣到多個自然數的情形。
例題
例1 5120除以一個兩位數得到的餘數是64，求這個兩位數。
分析與解：
由性質（2）知，除數×商=被除數-餘數。
5120-64=5056，
5056應是除數的整數倍。將5056分解質因數，得到
5056=64×79。
由性質（1）知，除數應大於64，再由除數是兩位數，得到除數在67～99之間，
符合題意的5056的約數只有79，所以這個兩位數是79。
例2 被除數、除數、商與餘數之和是2143，已知商是33，餘數是52，求被除數和除數。
解：因為被除數=除數×商+餘數=除數×33+52，
被除數=2143-除數-商-餘數=2143-除數-33-52=2058-除數，
所以 除數×33+52=2058-除數，所以 除數=（2058-52）÷34=59，
被除數=2058-59=1999。
答：被除數是1999，除數是59。
例3 甲、乙兩數的和是1088，甲數除以乙數商11餘32，求甲、乙兩數。
解：因為 甲=乙×11+32，
所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
所以 乙=（1088-32）÷12=88，
甲=1088-乙=1000。
答：甲數是1000，乙數是88。
例4 有一個整數，用它去除70，110，160得到的三個餘數之和是50。求這個數。
分析與解：先由題目條件，求出這個數的大致範圍。因為50÷3=16……2，所以三個餘數中至少有一個大於16，推知除數大於16。由三個餘數之和是50知，除數不應大於70，所以除數在17～70之間。
由題意知（70+110+160）-50=290應能被這個數整除。將290分解質因數，得到290=2×5×29，290在17～70之間的約數有29和58。
因為110÷58=1……52>50，所以58不合題意。所求整數是29。
例5 求478×296×351除以17的餘數。
分析與解：先求出乘積再求餘數，計算量較大。根據性質（5），可先分別計算出各因數除以17的餘數，再求餘數之積除以17的餘數。
478，296，351除以17的餘數分別為2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
所求餘數是1。
例6 甲、乙兩個代表團乘車去參觀，每輛車可乘36人。兩代表團坐滿若干輛車後，甲代表團餘下的11人與乙代表團餘下的成員正好又坐滿一輛車。參觀完，甲代表團的每個成員與乙代表團的每個成員兩兩合拍一張照片留念。如果每個膠捲可拍36張照片，那么拍完最後一張照片後，相機里的膠捲還可拍幾張照片？
分析與解：甲代表團坐滿若干輛車後餘11人，說明甲代表團的人數（簡稱甲數）除以36餘11；兩代表團餘下的人正好坐滿一輛車，說明乙代表團餘36-11=25（人），即乙代表團的人數（簡稱乙數）除以36餘25；甲代表團的每個成員與乙代表團的每個成員兩兩合拍一張照片，共要拍“甲數×乙數”張照片，因為每個膠捲拍36張，所以最後一個膠捲拍的張數，等於“甲數×乙數”除以36的餘數。
因為甲數除以36餘11，乙數除以36餘25，所以“甲數×乙數”除以36的餘數等於11×25除以36的餘數。
（11×25）÷36=7……23，
即最後一個膠捲拍了23張，還可拍36-23=13（張）。
由例6看出，將實際問題轉化為我們熟悉的數學問題，有助於我們思考解題。
例7 5397被一個質數除，所得餘數是15.求這個質數.
解：這個質數能整除
5397-15=5382，
而 5382=2×31997×13×23.
因為除數要比餘數15大，除數又是質數，所以它只能是23.
當被除數較大時，求餘數的一個簡便方法是從被除數中逐次去掉除數的整數倍，從而得到餘數。
例8 求 645763除以7的餘數。
解：可以先去掉 7的倍數630000餘15763，再去掉14000還餘下 1763，再去掉1400餘下363，再去掉350餘13，最後得出餘數是6.這個過程可簡單地記成
645763→15763→1763→363→13→6.
如果演算能力強，上面過程可以更簡單地寫成：
645763→15000→1000→6.
帶餘除法可以得出下面很有用的結論：
如果兩個數被同一個除數除餘數相同，那么這兩個數之差就能被那個除數整除。
例9 有一個大於 1的整數，它除967，1000，2001得到相同的餘數，那么這個整數是多少？
解：由上面的結論，所求整數應能整除 967，1000，2001的兩兩之差，即
1000-967=33=3×11，
2001-1000=1001=7×11×13，
2001-967=1034=2×11×47.
這個整數是這三個差的公約數11.
請注意，我們不必求出三個差，只要求出其中兩個就夠了。因為另一個差總可以由這兩個差得到。
例如，求出差1000-967與2001-1000，
那么差
2001-967=（2001-1000）+（1000-967）
=1001+33
=1034
從帶餘除式，還可以得出下面結論：
甲、乙兩數，如果被同一除數來除，得到兩個餘數，那么甲、乙兩數之和被這個除數除，它的餘數就是兩個餘數之和被這個除數除所得的餘數。
例如，57被13除餘5，152被13除餘9，那么57+152=209被13除，餘數是5+9=14被 13除的餘數1.
例10 有一串數排成一行，其中第一個數是15，第二個數是40，從第三個數起，每個數恰好是前面兩個數的和，問這串數中，第1998個數被3除的餘數是多少？
解：我們可以按照題目的條件把這串數寫出來，再看每一個數被3除的餘數有什麼規律，但這樣做太麻煩。根據上面說到的結論，可以採取下面的做法，從第三個數起，把前兩個數被3除所得的餘數相加，然後除以3，就得到這個數被3除的餘數，這樣就很容易算出前十個數被3除的餘數，列表如下：
從表中可以看出，第九、第十兩數被3除的餘數與第一、第二兩個數被3除的餘數相同。因此這一串數被3除的餘數，每八個循環一次，因為
1998= 8×249+ 6，
所以，第1998個數被3除的餘數，應與第六個數被3除的餘數一樣，也就是2.
一些有規律的數，常常會循環地出現.我們的計算方法，就是循環制.計算鐘點是
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12
這十二個數構成一個循環。
按照七天一輪計算天數是
日，一，二，三，四，五，六.這也是一個循環，相當於一些連續自然數被7除的餘數
0， 1， 2， 3， 4， 5， 6的循環，用循環制計算時間：鐘錶、星期、月、四季，說明人們很早就發現循環現象.用數來反映循環現象也是很自然的事。
循環現象，我們還稱作具有“周期性”，12個數的循環，就說周期是12，7個數的循環，就說周期是7.例 10中餘數的周期是8。研究數的循環，發現周期性和確定周期，是很有趣的事。
下面我們再舉出兩個餘數出現循環現象的例子。在講述例題之前，再講一個從帶餘除式得出的結論：
甲、乙兩數被同一除數來除，得到兩個餘數.那么甲、乙兩數的積被這個除數除，它的餘數就是兩個餘數的積，被這個除數除所得的餘數.
例如，37被11除餘4，27被11除餘5，37×27=999被 11除的餘數是 4×5=20被 11 除後的餘數 9。
1997=7×285+2，就知道1997×1997被7除的餘數是2×2=4.
例 11 191997被7除余幾？
解：從上面的結論知道，191997被7除的餘數與21997被7除的餘數相同.我們只要考慮一些2的連乘，被7除的餘數.
先寫出一列數
2，2×2=4，2×2×2 =8，
2×2×2×2=16，…
然後逐個用7去除，列一張表，看看有什麼規律。列表如下：
事實上，只要用前一個數被7除的餘數，乘以2，再被7除，就可以得到後一個數被7除的餘數.（為什麼？請想一想.）
從表中可以看出，第四個數與第一個數的餘數相同，都是2.根據上面對餘數的計算，就知道，第五個數與第二個數餘數相同，……因此，餘數是每隔3個數循環一輪。循環的周期是3。
1997=3×665 +2
就知道21997被7除的餘數，與21997 被 7除的餘數相同，這個餘數是4。
再看一個稍複雜的例子。
例12 70個數排成一行，除了兩頭的兩個數以外，每個數的三倍都恰好等於它兩邊兩個數的和.這一行最左邊的幾個數是這樣的：
0，1，3，8，21，55，…
問：最右邊一個數（第70個數）被6除余幾？
解：首先要注意到，從第三個數起，每一個數都恰好等於前一個數的3倍減去再前一個數：
3=1×3-0，
8=3×3-1，
21=8×3-3，
55=21×3-8，
……
不過，真的要一個一個地算下去，然後逐個被6去除，那就太麻煩了。能否從前面的餘數，算出後面的餘數呢？能！同算出這一行數的辦法一樣（為什麼？），從第三個數起，餘數的計算辦法如下：
將前一個數的餘數乘3，減去再前一個數的餘數，然後被6除，所得餘數即是
用這個辦法，可以逐個算出餘數，列表如下：
注意，在算第八個數的餘數時，要出現0×3-1這在國小數學範圍不允許，因為我們求被6除的餘數，所以我們可以 0×3加6再來減 1
從表中可以看出，第十三、第十四個數的餘數，與第一、第二個數的餘數對應相同，就知道餘數的循環周期是 12
70 =12×5+10
因此，第七十個數被6除的餘數，與第十個數的餘數相同，也就是4。
在一千多年前的《孫子算經》中，有這樣一道算術題：
“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”按照今天的話來說：
一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求這個數。
這樣的問題，也有人稱為“韓信點兵”.它形成了一類問題，也就是初等數論中解同餘式.這類問題的有解條件和解的方法被稱為“中國剩餘定理”，這是由中國人提出的。許多國小數學的課外讀物都喜歡講這類問題，但是它的一般解法決不是國小生能弄明白的。這裡，我們通過兩個例題，對較小的數，介紹一種通俗解法。
例13 有一個數，除以3餘2，除以4餘1，問這個數除以12餘幾？
解：除以3餘2 的數有：
2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23…
它們除以12的餘數是：
2，5，8，11，2，5，8，11，…
除以4餘1的數有：
1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，…
它們除以12的餘數是：
1， 5， 9， 1， 5， 9，…
一個數除以12的餘數是唯一的.上面兩行餘數中，只有5是共同的，因此這個數除以12的餘數是5
上面解法中，我們逐個列出被3除餘2的整數，又逐個列出被4除餘1的整數，然後逐個考慮被12除的餘數，找出兩者共同的餘數，就是被12除的餘數.這樣的列舉的辦法，在考慮的數不大時，是很有用的，也是同學們最容易接受的。
如果我們把例23的問題改變一下，不求被12除的餘數，而是求這個數.很明顯，滿足條件的數是很多的，它是
5+ 12×整數
整數可以取0，1，2，…，無窮無盡.事實上，我們首先找出5後，注意到12是3與4的最低公倍數，再加上 12的整數倍，就都是滿足條件的數.這樣就是把“除以3餘2，除以4餘1”兩個條件合併成“除以12餘5”一個條件。《孫子算經》提出的問題有三個條件，我們可以先把兩個條件合併成一個.然後再與第三個條件合併，就可找到答案.
例14 一個數除以 3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求符合條件的最小數.
解：先列出除以 3餘2的數：
2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，
再列出除以5餘3的數：
3， 8， 13， 18， 23， 28，….
這兩列數中，首先出現的公共數是8.3與5的最低公倍數是15.兩個條件合併成一個就是
8+15×整數，
列出這一串數是
8， 23， 38，…，
再列出除以7餘2的數
2， 9， 16， 23， 30，…，
就得出符合題目條件的最小數是23.
事實上，我們已把題目中三個條件合併成一個：被105除餘23.
最後再看一個例子.
例15 在100 至200之間，有三個連續的自然數，其中最小的能被3整除，中間的能被5整除，最大的能被7整除，寫出這樣的三個連續自然數.
解：先找出兩個連續自然數，第一個能被3整除，第二個能被5整除（又是被3除餘1）.例如，找出9和10，下一個連續的自然數是11.
3和5的最低公倍數是15，考慮11加15的整數倍，使加得的數能被7整除.11+15×3=56能被7整除，那么54，55，56這三個連續自然數，依次分別能被3，5，7整除.
為了滿足“在100至200之間”將54，55，56分別加上3，5，7的最低公倍數105.所求三數是
159， 160， 161.
在風水學中的套用
餘數與風水如生於1972年的男性，（10睢72）/9=28／9：3……1，餘數為1，1為坎，所以該男性的命卦為坎卦，屬於東四命。
想拍拖想了很久，但目標人物遲遲還未出現；又或者即使有拖拍也嗌霎多多，感情若即若離，這都代表了你的戀愛運程處於弱勢。若想扭轉這個局面，就要先按下列的公式，計計自己屬於什麼命，然後根據自己的九星命數,在家居布置上做適當的配合，便可催旺桃花，增強戀愛運。
要計算出自己屬什麼九星命數並不太困難，只要憑出生年份便能算出來，但要注意男性和女性的計算方法亦各不同。
假設你的出生年份是1970年
男性的計算方法：
(100-出生年份最後兩位數)÷9後得出的餘數
即：(100-70)÷9
=30÷9
=3餘3
餘數的3便是你的九星命數，再根據這個數從下列的表格中查出自己的風水命。
女性的計算方法：
(出生年份最後兩位數-4)÷9後得出的餘數
即：(70-4)÷9
=66÷9
=7餘3
餘數的3便是你的九星命數。
餘數風水命所屬五行所屬
1.一白命水
2.二黑命土
3.三碧命木
4.四綠命木
5.五黃命土
6.六白命金
7.七赤命金
8.八白命土
9.九紫命火
如果你連計算也覺麻煩，可以查下的出生年份表，便知自己屬什麼命了。
男性：1918,1927,1936,1945,1954,1963,1972,1981,1990,1999
女性：1914,1923,1932,1941,1950,1959,1968,1977,1986,1995
一白命的人，不論男女，選擇房屋以大廳的窗向正北、正南、正東或東南方為好，睡房或床頭最宜取北、南、東或東南方這四個吉方。
催旺桃花物品：在睡房南面擺放鑽石型飾物
有利情緣顏色：白及米白色
男性：1917,1926,1935,1944,1953,1962,1971,1980,1989,1998
女性：1915,1924,1933,1942,1951,1960,1969,1978,1987,1996
二黑命的人，不論男女，選擇房屋以大廳的窗向東北方為最佳，睡房或床頭也宜取東北或西南方。
催旺桃花物品：在東北或西南方放紅色的畫或地毯等物品.
有利情緣顏色：紅、橙、紫色
男性和女性的年份是相同的：1916,1925,1934,1943,1952,1961,1970,1979,1988,1997
三碧命的人，無論男女，選擇房屋以大廳向東南方為佳，床頭安在東南或西北都屬吉利。
催旺桃花物品：在西北位置擺放一對木製的男女公仔或方形物件，如木製的CD盒等。
有利情緣顏色： 綠,藍色.
男性∶1924,1933,1942,1951,1960,1969,1978,1987,1996
女性∶1926,1935,1944,1953,1962,1971,1980,1989,1998
四綠命的人，不論男女，選擇房屋以大廳向東南方為佳，床頭安在東南方，是大吉方位.此外,床安西南方亦好。
催旺桃花物品∶在東南方擺放一些波浪形的物件,如水晶母體等飾物.
有利情緣顏色：綠、淺藍、灰藍色。
男性∶1914,1923,1932,1941,1950,1959,1968,1977,1986,1995
女性∶1918,1927,1936,1945,1954,1963,1972,1981,1990,1999
五黃命的人,男性選擇房屋以大廳窗向東北方為最佳，睡房及床頭也宜取東北或西南方。
女性選擇房屋則以大廳窗向東北為佳，床頭安在西南方,是大吉方位。
催旺桃花物品：在東北或西南方放8粒小粉紅晶,或粉紅色的畫或地毯等物品。
有利情緣顏色：粉紅,粉紫,粉橙色。
男性∶1922,1931,1940,1949,1958,1967,1976,1985,1994
女性∶1919,1928,1937,1946,1955,1964,1973,1982,1991
六白命的人,不論男女，選擇房屋以大廳窗向正東為佳,睡房及床頭宜取正西或正南方。
催旺桃花物品：在南方擺放金屬飾物。
有利情緣顏色：銀、白、金色。
男性∶1921,1930,1939,1948,1957,1966,1975,1984,1993
女性∶1920,1929,1938,1947,1956,1965,1974,1983,1992
七赤命的人,不論男女,選擇房屋以大廳窗向正西,西南,西北,東北方為佳,睡房也宜取東南向,床頭最好安在西北方.
催旺桃花物品：在東南方擺放銅製鍾或金色會動的圓形鍾。
有利情緣顏色：古銅、金黃、黃色、
男性：1920,1929,1938,1947,1956,1965,1974,1983,1992
女性：1921,1930,1939,1948,1957,1966,1975,1984,1993
八白命的人,不論男女,選擇房屋以大廳窗向東北為佳,床頭最好安在西南方。
催旺桃花物品：在西南方擺放8粒粉紅水晶,紅色寶石或其它紅色的飾物。
有利情緣顏色：紫、紫紅、淺紫色。
男性：1919,1928,1937,1946,1955,1964,1973,1982,1991,2000
女性：1922,1931,1940,1949,1958,1967,1976,1985,1994,2003
九紫命的人，不論男女，選擇房屋以大廳窗向正南方或東南方為佳，床頭最好安在正南方。
催旺桃花物品：在東南方或正南方擺放一些綠色或紅色的植物。
有利情緣顏色：綠、紫色和紅色。
