定義
定義一
零化子
零化子 零化子
零化子
零化子 零化子
零化子
零化子 零化子 零化子 零化子 零化子設S是環R的子集，R中一切左乘S中每一個元都等於零的元素的集合，稱為S的左零化子，通常記為或，即={對任意}。是R的一個左理想。同樣地，S在R中的右零化子=={對任意}是R的右理想，∩稱為S在R中的零化子，它是R的理想。
定義二
零化子假定R是環，S是R的非空子集合， ，那么
零化子 零化子
零化子 零化子 零化子叫做R中S的左零化子或簡稱R中左零化子或左零化子，顯然 是R的左理想，假如K是由S生成的R的右理想，那么，因此我們也可以假定S是R的右理想，這樣 就是R的右理想S的左零化子，如果S是左理想或理想，那么 就是理想。
零化子
零化子 零化子同樣 叫做R中S的右零化子或R中右零化子或右零化子，顯然 是R的右理想，我們也可把看成R的左理想S的右零化子，右理想的右零化子或理想的右零化子都是理想。
R的理想如果又是R中左零化子或右零化子，就叫做R的零化理想，顯然R自身是R中的零化理想，假如環R有單位元或是半質環，那么O是R的零化理想。
零化子的性質
零化子
零化子
零化子
零化子把 和 分別簡記為 和。
1 引理
零化子
零化子設 是餘生成子，則對於每個 有：
零化子2 定理
零化子若 是內射的，則有
零化子
零化子(1)對任意 ，，有
零化子
零化子(2)對任意有限生成的 有
零化子3 定理
如果定理2中的條件(1)，(2)成立，則任意從R的有限生成右理想到R的同態可由R的某個元素左乘得到。
4 推論
零化子 零化子若 是Noether的且定理2中的條件(1)，(2)成立，則 是內射的。
零化子證明：因為是Noether的，所以R的每個右理想是有限生成的，於是由定理3和Baer判別定理就得到命題。
