循環子空間

循環子空間(cyclic subspace)是一類特殊的子空間，指由一個向量與一個線性變換確定的子空間。設V是域P上的n維線性空間，σ是V上的線性變換，若0≠ξ∈V，則存在k使ξ，σ(ξ)，…，σ(ξ)線性無關，但ξ，σ(ξ)，…，σ(ξ)線性相關，由ξ，σ(ξ)，…，σ(ξ)生成的子空間L，稱為σ循環子空間，ξ，σ(ξ)，…，σ(ξ)稱為L的σ循環基。特別地，當L=V時，V稱為循環空間(關於σ的)，記為V=L(ξ)σ，而σ稱為循環變換.，V的線性變換σ是循環的充分必要條件是它的最低多項式(也稱最小多項式)的次數為n=dim V，若V=L(ξ)σ，ξ的最低多項式為f(λ)=λ-an-1λ-...-a0，則循環變換σ關於基ξ，σ(ξ)，…，σ(ξ)的矩陣，恰是f(λ)的相伴矩陣 。

基本介紹

循環子空間

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設V是域F上線性空間， 是V的一個(固定)線性變換，設 ，而W是含α的最小不變子空間，那么W至少應含 ，故W至少應包含多項式對α的作用象

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而另一方面， 顯然已是不變子空間，故知 。

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定義1 (1)設 ，則 稱為α生成的 的 循環子空間(cyclic subspace)(這是含α的最小不變子空間)。(2)若V中有向量α使 ，則稱V是 循環空間，稱α是V的 循環向量 。

相關概念及性質

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為了查明 的大小，要查明有哪些多項式 化α為0，即

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這樣的多項式 稱為α的 零化子或 零化多項式(annihilator)，α的次數最低的首一零化多項式 稱為α的 最小零化子。容易證明零化多項式恰為最小零化子的多項式的倍，最小零化子可按以下方法求得。依次查

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可求得正整數k使得 線性無關而 線性相關，即有 使

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即

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其中

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於是 是α的零化多項式，若 是α的零化多項式，而

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則

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所以 ，若 ，則 ，這與 線性無關矛盾，故 ，即 。

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定理1 設V是域F上n維線性空間， 是V的線性變換，固定 ，記α生成的循環子空間為

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(1)若 線性無關，而 線性相關，設為

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則

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是α的最小零化子；

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(2) 的維數為是 ，且

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是W的基。

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(3) 在上述基下的方陣表示為 的友陣

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特別地， 的最小多項式 、特徵多項式 及α的最小零化子 三者相等，即

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證明 (1)已證。

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(2)已證明 線性無關，只要再證明 中任一向量均可由它們線性表出，已知

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兩邊同以 作用，可得 能由它們表出，如此遞推可知 可由它們表出。

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(3)顯然， 的方陣為 ，由友陣的性質即知 。

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註記 定理1的抽象證明：考慮線性映射 ，即

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其核 由 的倍全體組成 ：

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故由線性映射基本定理有

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左端的基是 ，故右端的基是 。