纖維叢
纖維叢概念 假設空間E 是空間x 和Y 的拓撲乘積。設p:E=x×Y→x為向第一個乘積因子的投影映射,則對於任意x∈x，p-1(x)均同胚於Y。因此E可看作被分解為一族"纖維"{p-1(x)}的聯合體。這些"纖維"相互聯合的方式是按照已知的乘積拓撲實現的。纖維叢概念是將這種考慮作如下推廣。設E,B,F是拓撲空間,p:E→B是連續映射。若對於任意x∈B,p -1(x)均同胚於F,則說E被纖維化為一個以F為纖維型的叢。一般說來,E不是B與F的拓撲乘積。但假設"局部地"是拓撲乘積,即設B中每一點x均有包含x的一個開集Vi,和一個把p-1(Vi)同胚地映成Vi×F的映射φi,使得對每個x∈Vi,φi把p-1(x)映為x×F,E是這些{p-1(Vi)}的並集，因此E可看作是由這些拓撲乘積{Vi×F}拼粘起來的。當Vi
Vj≠═時,Vi×F和Vj×F的拼粘方式如下:對每對
，如果
，即
，就將(x,yi)和(x,yj)粘起來,φi·φ
是把x×F映為x×F的拓撲變換,所以它決定F的一個拓撲變換gij(x)。這裡gij(x)·yj=yj，因此Vi×F和Vj×F的拼粘就可以看作是藉助於一個連續映射
來作的，其中G是F的一個拓撲變換群,這些gij稱為轉移函式。因而就說有了一個纖維叢(E，p，B，F，G),這裡E稱為全空間,B為底空間，F為纖維型，p為投影，G為構造群。 例如，
是最簡單的非拓撲乘積的纖維叢。它由一條矩形長帶將其一對邊中之一扭轉 180°後與另一邊粘合而得(見閉曲面的分類、拓撲空間)。也可看作將一直線段中點放在一個圓周上沿此圓周移動一周的同時，使該線段翻轉180°而成。這是一個纖維叢,其全空間E為麥比烏斯帶，底空間 B為圓周，纖維型F為線段，構造群G為F的一個至少包含關於中點的反射在內的拓撲變換群,p:E→B則是將每根直母線映為與B之交點的映射。 齊性空間 一類重要的纖維叢。設H為拓撲群G的一個閉子群,H在G中的左陪集組成商空間G/H,設p:G→G/H為商映射，則在適當條件下(G,p,G/H,H,H)成為一個纖維叢，且G作用在G/H上是可遷的變換群。
切叢 另一類重要的纖維叢。設M是一個實n維微分流形，Tx(M)為M在點x處的切空間，將所有{Tx(M)}用自然方式並起來，得一個2n維微分流形T(M)，設p:T(M)→M為將Tx(M)映成x，則得纖維叢T(M),p,M，Rn,GL(n，R)，稱為M的切叢。類似地，還可定義M上的各型張量叢。
向量叢 以線性空間為纖維型，一般線性群為構造群的纖維叢稱為向量叢。切叢是最常見的重要的向量叢，將向量空間的運算施於向量叢的纖維，便得向量叢的運算。例如由直和與張量積得同底的向量叢的惠特尼和嘰與張量積嘰。
叢的誘導 轉移函式族｛gij｝表達了局部乘積拼粘為整體的全貌，因此它刻畫了叢結構。設給了連續映射ƒ:B1→B，則函式族{gij。ƒ}是B1上的一族轉移函式，從而確定B1上具有相同纖維型和構造群的纖維叢，稱為誘導叢。仿緊空間上相互同倫的映射誘導相同的叢。
主纖維叢 簡稱主叢。若纖維叢的纖維型就是構造群G，並且G在纖維G上的作用是左平移,則此纖維叢稱為主G叢。任一以G為構造群的纖維叢決定一個具有相同轉移函式族的主G叢，稱為相配的主G叢。由於纖維叢被其轉移函式族所決定，所以纖維叢的同構分類歸結為主叢的同構分類。
萬有叢和分類空間 有一種特殊重要的主G叢,使得所論及的範疇中的每一個主G叢均為它的誘導叢,稱為萬有叢，其底空間稱為分類空間。於是以B為底的主G叢的同構分類,從而以G為構造群的具有一定纖維型的纖維叢的同構分類,歸結為從B到分類空間的連續映射的同倫分類。
截面 連續映射s:B→E稱為一個截面,如果s把每個點x∈B映入p -1(x)中。微分流形的切叢的截面是流形上的一個向量場，張量叢上的截面是一個張量場。截面的存在與否是一個重要問題。乘積叢恆有截面，然而由於一般的叢有扭曲，截面不一定存在。例如二維球面的單位切向量所構成的叢沒有截面，即球面上切向量場必有奇點。
示性類 纖維叢的截面的存在性問題與阻礙理論有關。由此而得到底空間的某些上同調類,稱為示性類,示性類可利用從底空間到分類空間的分類映射將萬有叢的示性類（所謂萬有示性類）拉回而得到。
示性類中重要者有斯蒂菲爾－惠特尼示性類、陳示性類和龐特里亞金示性類。
吳文俊在示性類理論中有許多重要研究，他發現斯蒂菲爾－惠特尼示性類的斯廷羅德平方運算的表示公式以及微分流形的斯蒂菲爾－惠特尼示性類用吳類表示的公式。
叢上的同倫與同調 纖維叢的全空間E、底空間B和纖維型 F具有同倫正合序列和同調譜序列。這些關係使人們可以利用將一個空間適當地纖維化為一個纖維叢的辦法來研究它的同倫和同調性質。
套用 纖維叢理論在微分幾何學、代數幾何學、複變函數與複流形理論以及大範圍分析學等方面有深刻的套用。一般說來，纖維叢是套用代數拓撲學的理論和方法於其他數學領域的一個橋樑。近年來還發現，在物理學中纖維叢是表達規範場的合適的數學語言。
參考書目
N.E.Steenrod,The Topology of Fibre Bundles,9th Printing,Princeton Univ.Press,Princeton,1974.
D.Husemoller,Fibre Bundles,2nd ed.,Springer-Verlag, New York, 1974.
