紐結理論

紐結理論

紐結理論是數學學科代數拓撲的一個分支,按照數學上的術語來說,是研究如何把若干個圓環嵌入到三維實歐氏空間中去的數學分支。紐結理論的特別之處是它研究的對象必須是三維空間中的曲線。在兩維空間中,由於沒有足夠的維數,我們不可能把讓一根曲線自己和自己纏繞在一起打成結;而在四維或以上的空間中,由於維數太多,無論怎么樣的紐結都能夠很方便地被解開成沒有結的曲線。

基本信息

簡介

紐結理論紐結理論
繩結是人人熟悉的,史前時期就有結繩記事。試一試就會相信,圖1中的兩個結不一樣:沒法把一個變形成另一個,除非把繩頭抽回重穿。繩子的粗細、長短、曲直允許改變,單單不許繩頭重穿。
由於這條規矩不易精確描述,那么索性規定繩的兩端要捻合起來(於是剛才的兩個結要改畫成圖2)。這樣就可以得到了數學上的定義:紐結是三維空間中的不與自己相交的封閉曲線,或者說,三維空間中的與圓周同胚的圖形。兩個紐結等價是指存在三維空間本身的一個變形,把一個變成另一個。與平面上的圓周等價的紐結稱為平凡紐結(因為把未打結的繩子兩頭捻合得到的圈可以放在平面上)。同時這也是繩結魔術的數學道理。
如果不是考慮一條閉曲線,而是同時考慮h條閉曲線,要求它們既不自交也不互交,那么就得到h圈鏈環的概念。等價性的定義也與紐結的相仿。圖3中是兩個非平凡的(即不等價於互相分離的圓周的)雙圈鏈環,它們彼此也不等價
紐結理論的基本問題是:怎樣區分不等價的紐結(或鏈環)?它是三維拓撲學的一部分,
因為曲線打結與鏈鎖是三維空間所特有的現象(平面上、四維以上的空間裡曲線都不會打結),而且它所研究的是閉曲線在三維空間中安放方式的差異,並不是閉曲線本身(它們都與圓周同胚,因而彼此都同胚)。

紐結的投影

每個紐結,選取適當的投影方向,總可以使它在平面上的投影的自交點都只是二重交叉點;以線的虛實表現交叉的情況,就得到紐結的投影圖。紐結的等價類被它的投影圖所完全確定,但是等價的紐結可以有不同的投影圖。圖4的兩個紐結是分別與圖2的兩個紐結等價的,它們通常稱為三葉結與8字結。

紐結的不變數

要證明兩個紐結等價,只須用繩各作一個模型然後把一個變形成另一個。然而如果你失敗了,並不足以證明這兩個紐結不等價,或許還有什麼訣竅能使它們互變呢!因此,要證明兩個紐結不等價,必須用不變數,即紐結的在變形下不改變的性質。
不變數之一是紐結的群,即從三維空間中挖去該紐結後所余的開集的基本群。它容易計算,有簡單的步驟從該紐結的投影圖來寫出它的母元和關係。然而它不易鑑別,因為用母元和關係寫出的兩個群,沒有普遍適用的辦法來鑑定它們是否同構。平凡紐結的特徵是,它的群是無限循環群。然而,群相同的紐結不一定等價。圖5中的兩個三葉結互為鏡像,因而有相同的群,但是它們不等價。圖6是兩個常用的結,也是群相同而不等價。眾所周知,左邊的結牢靠,有方結、外科結等名稱,而右邊的易散,被稱為懶散結。那是它們的物理性質,不是幾何性質。

紐結的運算

在一條繩上先後打兩個結,其結果稱為兩個結的和(圖7)。很明顯,這加法滿足結合律,平凡結起著零的作用。交換律可以從圖8看出。全體紐結在加法運算下構成一個交換半群。就象每個正整數在乘法運算下有惟一的素因子分解一樣,每個非平凡的紐結可以分解成素紐結(即不能再分解的非平凡紐結,例如三葉結與8字結)的和,而且只有一個這樣的分解式。方結是三葉結與其鏡像之和,而懶散結則是兩個三葉結之和。

歷史與現狀

C.F.高斯在1833年研究電動力學時引進了閉曲線之間的環繞數,這是紐結理論的基本工具之一。1880年左右出現了最早的紐結表。紐結理論後來隨著代數拓撲學的發展而前進,也反過來刺激了代數拓撲學的發展。1910年M.W.德恩引進紐結的群的概念,1928年J.W.亞歷山大引進了紐結的多項式這個更易處理的不變數,都是重要的進步。紐結理論是拓撲學的一個引人入勝的領域,一方面因為它研究的是看得見摸得著的豐富多彩的幾何現象,有著許多問題等待人們去解決,另一方面也因為它相當奧妙,需要動用各種各樣的方法,成了諸如群論、矩陣論、數論、代數幾何、微分幾何等眾多學科與拓撲學交匯的地方。
目前,已經有了能夠判斷紐結的等價性的算法,可以造出一台機器,輸入任意兩個紐結的投影圖,它都能判定它們是否等價。然而這隻解決了理論上的可判定性,還不切實可行。在實際計算方面,已發明了一些新的多項式不變數,它們比亞歷山大多項式包含更多的信息。
由於紐結、鏈環與三維、四維流形的構造和分類有深刻的聯繫,與奇點理論也密切相關,也由於高維紐結(n維球面在n+2維空間中安放方式)的研究的進展,紐結理論近年來引起更多人的興趣。它也被套用於化學中大分子的空間結構的研究,例如遺傳物質DNA的研究。
20世紀八十年代,jones發明了紐結多項式,為紐結理論的發展做出了進一步的推動。

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