定義
區間套 
區間套 
區間套 
區間套 
區間套 設表示以為端點的閉區間，即，而用記其長度，即假若它們滿足以下兩個條件：
區間套 1)對所有的n，皆有；
區間套 
區間套 
區間套 2)當時，，那么，就稱是一個 區間套。
區間套定理
區間套 
區間套 若是一個區間套，則存在唯一的實數c屬於所有的區間。
區間套 
區間套 證明： 由區間套的條件1)易知：數列是單調遞增的，且有界(任一皆為其上界)，故必有極限，令
區間套 區間套 
區間套 現證數c屬於一切區間，為此，取某個固定的自然m，則對大於m的n，皆有故知
區間套 
區間套 現令則有
區間套 
區間套 區間套 即數c屬於區間，因m是任意，故c屬於區間套的所有區間。
最後再證 唯一性、為此，該用反證法；
區間套 
區間套 區間套 假定c‘是屬於一切區間的另一數，那么因為它們都屬於，故有
區間套 於是有
區間套 
區間套 這與區間套的條件2)是矛盾的，故知屬於所有區間的c是唯一的。
區間套 
區間套 
區間套 
區間套 應該強調的是：區間套中的區間，必需是閉的(包含二端點在內)，否則，區間套定理就未必成立．譬如，取一系列不包含端點的開區間容易看出：包含在之中，且有
區間套 區間套 但卻不存在任何實數屬於所有的區間。
詳細介紹
區間套 我們怎樣描述一個無理實數呢?對於像這樣一些數，我們能夠給出簡單的幾何表征，但這並不總是容易做到的，足以產生每一個實數點的一種通用可行的方法，乃是通過越來越精確的有理近似值數列來描述數值x，特別是，我們將從左、右兩邊同時逼近x，其精確度逐次增高，而使得誤差的界限趨向於零，換句話說，我們採用這樣一個包含x的端點為有理數的區間“序列”，其中每一個區間都包含著下一個區間，而且使得此序列中充分靠後的那些區間，其區間的長度，隨同其近似值的誤差，小於任何預先指定的正數。
區間套 首先，設x含於閉區間之中，即
區間套 
圖1 區間套序列 
區間套 
區間套 
區間套 這裡都是有理數(見圖1)，在之中，我們考慮一個包含x的“子區間”，即
區間套 
區間套 區間套 
區間套 區間套 
區間套 這裡都是有理數，例如，我們可以取的某一半作為，因為x必定處在區間的這一半或那一半之中。在之中，我們也考慮包含x的子區間，
區間套 
區間套 
區間套 區間套 
區間套 區間套 區間套 區間套 這裡都是有理數，如此等等，我們要求區間的長度隨n增加而趨向於零；即對於所有足夠大的n，的長度小於任何預先指定的正數，一個閉區間的集合，其中每一個都包含著下一個並且其長度趨向於零，我們稱它為“ 區間套序列”。點x由區間套序列唯一確定，即沒有另一點y能夠處於所有之中，因為，只要n足夠大，x和y之間的距離就會超過的長度，由於這裡我們總是選取有理點作為的端點，又因為具有有理端點的每一個區間由兩個有理數來描述，於是我們看到， L上的每一個點，即每一個實數，能夠由無窮多個有理數來準確地描述，逆命題並不是顯而易見的；我們將把它當作一個基本公理來接受。
區間套 區間套 區間套公理：如果是一個具有有理端點的區間套序列，則存在一個點x包含於所有的之中。這是一個連續性公理：這個公理保證實軸上沒有空隙存在。
