分離公理

分離公理

在拓撲學及相關的數學領域裡,通常對於所討論的拓撲空間加有各種各樣的限制條件,分離公理即是指之中的某些限制條件。這些分離公理有時候被叫做吉洪諾夫分離公理,得名於安德烈·尼古拉耶維奇·吉洪諾夫。部分分離公理以字母T開頭,是由德文單詞“Trennung”而來,意義是分離。 分離公理之所以稱為公理,是因為以前定義拓撲空間時,有些人會將其也做為公理來定義,而得出較現在意思狹義的拓撲空間。但在拓撲空間的公理化完成後,那些都成了“各種”的拓撲空間。然而,“分離公理”這一詞就這樣固定了下來。

初步定義

在定義分離公理之前,讓我們先了解在拓撲空間中,可分離的集合(和點)的具體含意。(須注意的是,可分離的集合不一定等同於下一節所定義的“分離空間”。)

分離公理是利用拓撲的方法來分辦不相交的集合及相區別的點。不只要拓撲空間內的元素是相區別的,更要這些元素是“拓撲可區別的”;不只要拓撲空間內的子集是不相交的,更要這些子集是(以某種方式)“可分離的”。分離公理聲稱,無論如何,若點或集合在某些較弱意思下是可區別的或可分離的,也必須在某些較強的意思下是可區別或可分離的。

設X為一拓撲空間,A,B ⊆ X,R是實數集,定義:

拓撲可區分

A,B稱為拓撲可區分的,若且唯若A,B的鄰域系U(A)和U(B)不相等(即,存在某個A的鄰域,不是B的鄰域,或反之)。

可分離

A,B稱為可分離的,若且唯若A∩B和A∩B都為空。(A是A的閉包)。注意:A∩B可以不為空。

鄰域可分離

A,B稱為鄰域可分離的,若且唯若存在A的鄰域U和B的鄰域V,使得U∩V為空。

閉鄰域可分離

A,B稱為閉鄰域可分離的,若且唯若存在A的閉鄰域U和B的閉鄰域V,使得U∩V為空。

函式可分離

A,B稱為函式可分離的,若且唯若存在連續函式f: X→R,使得f(A)={0},f(B)={1}。

函式完全分離

A,B稱為函式完全分離的,若且唯若存在連續函式f: X→R,使得f({0})=A,f({1})=B。

對於X中的點x,y(或點x和子集A),稱它們為拓撲可分,可分離,鄰域可分離等等,若且唯若單元素集合{x}和{y}(或{x}和子集A)是拓撲可分,可分離,鄰域可分離等等。

以上這些條件是按強度依序給出的:任何兩個拓撲可區分的點也必然是相區分的,任何兩個分離的點也必然是拓撲可區分的。更進一步地說,任何兩個可分離的集合也必然是不相交的,任何兩個領域上可分離的集合也必然是可分離的,以此類推。

主要定義

下面的定義都會直接使用到上面的初步定義。

大部分的分離公理都會另一個等價的定義;下面所給出的定義會維持一致的模式,以和上一節所定義的許多分離的概念相連結。其他等價的定義則分別寫在個別的條目之中。

在下面所有的定義之中, X也還是個拓撲空間,而所有的函式也都被假設為連續的。

•X稱為 T空間或“柯爾莫果洛夫空間”,若在X內,任意兩個相區別的點皆為拓撲可區分的。

•X稱為R空間或“對稱空間”,若在X內,任意兩個拓撲可區分的點都是可分離的。

•X稱為T空間、“可及空間”或“弗雷歇空間”,若在X內,任意兩個相區別的點都是可分離的。因此,X為T空間,若且唯若X同時為T及R空間。

•X稱為R空間或“預正則空間”,若在X內,任意兩個拓撲可區分的點都是鄰域上可分離的。R空間必然也是R空間。

•X稱為T空間或“豪斯多夫空間”,若在X內,任意兩個相區別的點都是鄰域上可分離的。因此,X為豪斯多夫空間,若且唯若X同時為T及R空間。豪斯多夫空間必然也是T空間。

•X稱為T空間或“烏雷松空間”,若在X內,任意兩個相區別的點都是閉鄰域上可分離的。T空間必然也是豪斯多夫空間。

•X稱為完全豪斯多夫空間或“完全T空間”,若在X內,任意兩個相區別的點都是函式上可分離的。完全豪斯多夫空間必然也是T空間。

•X稱為正則空間,若在X內,給定一點x及一閉集F,則若x不屬於F,x和F即為鄰域上可分離的(實際上,在一個正則空間裡,x和F也同樣會是閉鄰域上可分離的)。正則空間必然也是R空間。

•X稱為正則豪斯多夫空間或“T空間”,若X同時為T及正則空間。正則豪斯多夫空間必然也是T空間。

•X稱為完全正則空間,若在X內,給定一點x及一閉集F,則若x不屬於F,x和F即為函式上可分離的。完全正則空間必然也是正則空間。

•X稱為吉洪諾夫空間、“T空間”、“完全T空間”或“完全正則豪斯多夫空間”,若X同時為T及完全正則空間。吉洪諾夫空間必然同時也是正則豪斯多夫空間及完全豪斯多夫空間。

•X稱為正規空間,若在X內,任意兩個相區別的閉子集都是鄰域上可分離的(實際上,在正規空間裡,任意兩個相區別的閉子集也同樣會是函式上可分離的;這稱為烏雷松引理)。

•X稱為正規豪斯多夫空間或“T空間”,若X同時為T及正規空間。正規豪斯多夫空間必然同時也是吉洪諾夫空間及正規正則空間。

•X稱為完全正規空間,若在X內,任意兩個相區別的子集都是鄰域上可分離的。完全正規空間必然也是正規空間。

•X稱為完全正規豪斯多夫空間、“T空間”或“完全T空間”,若X同時為完全正規及T空間。完全正規豪斯多夫空間必然也是正規豪斯多夫空間。

•X稱為完美正規空間,若在X內,任意兩個相區別的閉子集都是函式上完全分離的。完美正規空間必然也是完全正規空間。

•X稱為完美正規豪斯多夫空間、“T空間”或“完美T空間”,若X同時為完美正規及T空間。完美正規豪斯多夫空間必然也是完全正規豪斯多夫空間。

各空間的關係

T空間很特別,因為它不只可以當做一個性質加在其他空間上(如完全正則空間加上T即為吉洪諾夫空間),也可以由某個空間中刪去此一性質(如豪斯多夫空間刪去T即為R空間);更多資訊請見柯爾莫果洛夫商空間。當其套用在分離公理時,便會導致如下表所列的關係:

T版本無T版本
T
TR
豪斯多夫(T)R
T無給定名稱
完全豪斯多夫無給定名稱
正則豪斯多夫(T)正則
吉洪諾夫(T)完全正則
正規T正規
正規豪斯多夫(T)正規正則
完全正規T完全正規
完全正規豪斯多夫(T)完全正規正則
完美正規T完美正規
完美正規豪斯多夫(T)完美正規正則

在表中,利用柯爾莫果洛夫商空間運算,右邊的空間加上T即為左邊的空間,左邊的空間刪去T即為右邊的空間。

除了T的加上及刪去之外,各空間之間的關係則可由下圖指明出來:

在圖中,無T版本的空間在斜線的左邊,T版本的空間則在斜線的右邊。之中的字母代表的意思: P為完美(perfectly)、C為完全(completely)、N為正規(normal)、R為正則(regular)。 黑點代表該空間沒有給定名稱。

結合兩個空間的性質最後會產生的空間可由上圖得知,只要看兩點向上的分支會交會在哪一點即可。例如,若有一個空間同時為完全正規(CN)及完全豪斯多夫(CT)空間,則查看兩點向上的分支,會發覺為“·/T”。因為完全豪斯多夫空間為斜邊的T端(即使完全正規空間不是),最後得到的空間便會在斜邊的T端。亦即,完全正規完全豪斯多夫空間即為T空間。

再看一次上圖,正規空間及R空間結合在一起,由於會經過許多右側的分支,也意指會產生許多兩個空間所沒有的其他性質。因為正則性是之中最為人知的性質,結合正規空間及R空間而成的空間一般稱為“正規正則空間”。基於類似的想法,正規T空間通常稱為“正規豪斯多夫空間”。上述的慣用名稱可以延伸至其他正則空間與豪斯多夫空間之上。

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