ZF公理系統

(ZF2)空集合存在公理：即存在一集合s，它沒有元素。 (ZF5)冪集公理：也就是說，任意的集合x，P（x）也是一集合。 (ZF6)無窮公理：也就是說，存在一集合x，它有無窮多元素。

ZF公理系統是策梅洛(Zermelo)和弗倫克爾(Fraenkel)等提出的ZF系統，主要內容如下：
(ZF1)外延公理：一個集合完全由它的元素所決定。如果兩個集合含有同樣的元素，則它們是相等的。
(ZF2)空集合存在公理：即存在一集合s，它沒有元素。
(ZF3)無序對公理：也就是說，任給兩個集合x、y，存在第三個集合z，而w∈z若且唯若w=x或者w=y。
(ZF4)並集公理：也就是說，任給一集合x，我們可以把x的元素的元素匯集到一起，組成一個新集合。
準確的定義：“對任意集合x，存在集合y，使w∈y若且唯若存在z使z∈x且w∈z”。
(ZF5)冪集公理：也就是說，任意的集合x，P（x）也是一集合。
準確的定義：“對任意集合x，存在集合y，使z∈y若且唯若對z的所有元素w，w∈x”。
(ZF6)無窮公理：也就是說，存在一集合x，它有無窮多元素。
準確的定義：“存在一個集合，使得空集是其元素，且對其任意元素x，x∪{x}也是其元素。”
根據皮亞諾公理系統對自然數的描述，此即：存在一個包含所有自然數的集合。
(ZF7)分離公理模式：“對任意集合x和任意對x的元素有定義的邏輯謂詞P(z)，存在集合y，使z∈y若且唯若z∈x而且P(z)為真”。
(ZF8)替換公理模式：也就是說，對於任意的函式F（x），對於任意的集合t，當x屬於t時，F（x）都有定義（ZF中唯一的對象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得對於所有的x屬於t，在集合s中都有一元素y，使y=F（x）。也就是說，由F（x）所定義的函式的定義域在t中的時候，那么它的值域可限定在s中。
(ZF9)正則公理：也叫基礎公理。所有集都是良基集。說明一個集合的元素都具有最小性質，例如，不允許出現x屬於x的情況。
準確的定義：“對任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y為空集。”
註：以上全部即是ZF公理系統的內容