集合論公理系統
正文
公理集合論的基礎部分。如同平面幾何中的點、線、面一樣，集合是一個不加定義的原始概念。集合和屬於關係∈是通過公理刻畫的。例如，“任一集合由它的元素所惟一決定”是通過外延公理刻畫的。“存在一無窮集合”是無窮公理所斷定的。集合的運算（如無序對、並、冪等）也是通過公理加以刻畫和保證的。雖然每一公理都不是藉助於直觀(因為直觀不嚴謹可能發生錯誤)而是藉助於嚴謹的形式語言加以刻畫的，然而公理的背景都是很深刻和很直觀的，它們來源於G.（F.P.）康托爾的樸素集合論，是從他的理論中抽象出來的基本原則。因此，每一公理都是刻畫集合或類的某一基本性質。把某些公理蒐集在一起組成刻畫集合或類的特徵的若干基本原則，就稱為集合論的一個公理系統。具體地說，在康托爾集合論中包含著深刻的、豐富的、新型的推理方法。悖論的發現促使人們藉助於公理化方法，以期排除集合論中的已知悖論並系統地整理G.康托爾的理論和方法。1908年出現兩個著名的公理系統，這就是E.F.F.策梅洛的系統和B.A.W.羅素的類型論。之後，集合論公理系統的研究成了一個重要的方向和領域。除了對上述兩個系統的擴充、加工和修改之外，還出現了一些新的系統,其中最著名的是J.馮·諾伊曼1925年提出的系統,後經P.貝爾奈斯、K.哥德爾修改形成的GB系統，人們通常把這個系統記作NBG或GB。除了上述三個最著名的系統外，還有奎因系統，王浩系統，阿克曼系統，莫利和斯科特系統也都是值得重視的。近年來,人們也相當重視非直謂類的公理系統,其中有本質上是貝爾奈斯1961年給出的BC系統。
策梅洛-弗倫克爾公理系統 在1908年策梅洛系統的基礎上，經A.T.斯科朗、A.A.弗倫克爾的改進與補充而建立的一個公理系統，是康托爾集合論方法的形式化處理。它易於理解，是影響最廣的一個系統，人們通常把上述系統叫做ZF系統，並簡記為ZF。它的原始概念是集合和屬於關係，它們不是由定義給出的，而是藉助於一階語言（見一階邏輯）由公理直接予以刻畫的。這一系統的公理是下述10條。
① 外延公理 對於任意的兩個集合x與y，如果x的任一元都是y的元，反之,y的任一元都是x的元,則x＝y。換句話說,對於任意兩個集合,它們的元素相同時，它們為同一個集合,亦即
。 ② 空集合存在公理 存在一個沒有任何元素的集合。也就是說,空集合是存在的,空集合通常記作
。即彐x凬y(y唘x)。 ③ 無序對集合存在公理 對於任意的集合x，y,都存在一集合z，它的元素恰好是x 與y ，即
。此公理中的集合z，記作{x,y},稱為x與y的無序對集合。當x=y時,它就是{x},此時稱｛x｝為x的單元集合。 ④ 並集合公理 對於任意的集合x，都存在一集合y，y的元素恰好是x的所有元素的元素，即
。此公理中定義的集合y 稱為x的並集合，記作∪x。由此公理,對於任意的集合S1,S2，它們的並S1∪S2就定義為集合∪{S1,S2}。 ⑤ 冪集合公理 對於任意的集合x,都有一個集合y，y的元素恰好是x的子集合。即
，其中
。此公理中定義的集合 y稱為x的冪集合，記作P(x)。 ⑥ 無窮公理 存在著一個集合,它的元素恰好是所有自然數，此集合記作ω。即
。
。
⑧ 替換公理模式 對於任意的公式A(x,y),如果對任意的集合x，都有惟一的集合y，使得A(x,y)成立，那么對任意的集合S1，有一集合S2，使得S2 ={u｜t∈S1且A(t,u)}。也就是說,若A(x,y)具有一對一的性質，這時，對於任一集合S1,由S1中每一元素經A(x,y)對應的值組成一集合，即
。
在策梅洛1908年的論文中，分離公理中的A(z)僅指集合的性質。然而，性質仍然是一個很含混的概念，弗倫克爾把性質形式化為一階語言中的公式，從而使這一概念清晰和嚴謹了。在文獻中，人們常把公理①～⑦與⑨～⑩一起記為Z（即策梅洛系統）,把公理①～⑩一起記為ZF。有時為了突出選擇公理，人們也把公理①～⑨記為ZF，而把公理①～⑩記為ZFC。
ZF的獨立性問題 ZF不是獨立的，例如，由公理①～⑥與⑧～⑨可以推出公理⑦。但由於公理⑦是策梅洛首先提出的，具有歷史意義，並且運用方便，由它來證明交、笛卡兒乘積等運算的合法性都是相當簡潔的。因此，一般說來，公理⑦還是給予保留的。
ZF的完備性問題 皮亞諾算術公理都是ZF的定理，它們都可以直接從ZF推得。因此，由哥德爾不完備性定理可知，ZF是不完備的。
ZF的協調性問題 據哥德爾第二不完備性定理，ZF的協調性只能在比它可強的系統中證明。例如,在ZF+大基礎公理（即“存在一大基數”）的公理系統中，可以證明ZF是協調的。
類型論 關於集合的型的層次理論。它包括兩部分的內容:簡單類型論和分支類型論。在簡單類型論中,每一集合都有一確定的層次。一集合x能夠是另一集合y的元素，若且唯若y的層次比x的層次恰好多一,層次為0的對象是本元（或稱為個體，也稱為原子）。在這一系統中，變元是帶有層次的。對於每一正整數n，都有n層的變元xn,yn等，它們表達n層對象。所以,這裡有無窮多個原始概念，即有無窮多個不同層次類型的集合。在這一形式語言中,對於任意的變元xi,yj,xi∈yj為一合法的公式,若且唯若j=i+1。沒有不附加型的對象(或變元),每一對象（或變元）都有一正整數n，使得它恰好是n型對象（或n型變元）。人們不能夠泛泛地說,所有的對象如何如何，而只能說某一型的所有對象如何如何。當某一對象並不比某一集合的型恰好小於1時,說那個對象是該集合的元素，不僅是錯誤的，而且是毫無意義（即無定義的）。人們常把這一系統記作T。T的公理是外延公理、概括公理、乘法公理和無窮公理。
① 外延公理 對於任意給定的同一型的兩個對象，例如，它們均為n型對象xn,yn,如果對於任意的n＋1型對象zn+1，使得xn在zn+1中，若且唯若yn在zn+1中,則xn與yn為同一對象，即xn=yn。形式地說，就是
② 概括公理 對於任意的公式A(xi)，都存在一個i+1型的集合yi+1，使得
。 ③ 乘法公理 對於任意不空的i＋1型的集合xi+1，若它的任一元xi都是不空的，且xi+1的任意兩個不同的元都是不交的，則存在i型的集合yi,使得xi+1的任一元xi中恰好有一元屬於yi。反之，對於yi的任一元，xi+1也一定有一元xi,使得xi含有yi的這一相應元。形式地，就是
，上述公式中實際上已出現了i+1型空集合與i型空集合。（下文省去了它們的下標。） ④ 無窮公理 斷定存在一個具有無窮多個元素的集合。為了嚴格地陳述這一公理，先引進一些預備概念。對於兩個同型的對象xi,yi,單元集合{xi}與無序對{xi,yi}都是i＋1型對象；有序對 <xi，yi>定義為{{xi},{xi,yi}},是i＋2型對象。這樣,以<xi,yi>為元素的集（即i型對象上的二元關係）就是i+3型的對象。為了斷定存在一無窮集合，只須斷定有無窮多個本元就夠了。關於本元的二元關係為3型集合R3。公式
表示關係 R 3 是非自反的, 這也就是說，對於任意的本元
。 公式 
表示關係R 3 是傳遞的。無窮公理的形式化陳述如下： 
在分支類型論中，研究的問題更為複雜。它把同一型的集合再分為不同的層次，高層次的集合不能再作為低層的集合看待。最低層次的集合稱為直謂的，決定它們的性質（謂詞）也稱為直謂的性質（謂詞），其他的集合（性質）稱為非直謂的。例如,一n+1型集合Sn+1,如果對任一n型對象xn，必須考察n+1型整體方能斷定 xn是否屬於Sn+1時,則稱集合Sn+1為非直謂的。非直謂的層次是高的。由概括公理，一性質（謂詞或公式）決定一集合，這樣，非直謂的集合可以藉助於定義它的性質來說明。例如，羅素說：一個典型的英國人具有大多數英國人所具有的性質。其中“具有大多數英國人所具有的性質”也是一種性質，可是，這一性質涉及個體性質的全體。由此，稱它是一非直謂的性質。一般說，凡涉及某一類型性質的全體而又是此類型的性質叫做非直謂的性質。從公式的角度看，例如，設z3為一3型集合,令公式A(x1)為 彐y2(x1∈y2Λy2∈z3)在其中含有1型變元x1的自由出現。由概括公理，這一公式決定一個2 型集合
。而 S2要藉助於2型集合中的約束變元來定義，也就是說,S2要藉助包括S2在內的2型集合的整體來定義。這樣，S2是一非直謂的集合，A(x1)為非直謂的公式（或稱非直謂的謂詞）。不是非直謂的集合（性質）叫做直謂的集合（性質）。 分支類型論可以避免諸如里夏爾悖論，但又遇到了新的困難。對於一個集合，人們不能籠統地說此集合的所有元素（它們是較低型的集合）都有哪些性質，而必須區分層次才能作出斷定。實數就是這樣的集合。對實數就不能作出一個單一的斷定。因此，分支類型論不能作為描述數學命題的工具。為了彌補這一缺點，羅素又增加了一條可歸約性公理或稱為還原公理：每一非直謂性質（謂詞）都有一直謂性質（謂詞）與之等價。由此，一切型的集合都是直謂的。這樣一來，又等於取消了分支類型論。
GB公理 在這GB系統中,人們把類分為集合與真類。它有集合與類兩個原始概念。用小寫英文字母 x，y，z（或加下標）作為集合變元,用大寫英文字母X,Y,Z（或加下標）作為類變元。x∈y，X∈Y，x∈X,X∈x都是初級公式。此外，clα(X)與m(X)是初級公式,它們分別表示X是一類與X是一集合。由此，使用邏輯詞獲得所有的公式。公理區分為五組：
A組公理
① сlα(x)（任意的集合x都是類）；
② X∈Y→m(X)（若類X是類Y的元素，則X是一集合。即類的任意元都是集合）；
③ (x∈X凮 x∈Y)→X=Y(類由它的元素所決定,即類的外延公理)；
④ 無序對公理（與ZF的相應公理一樣）。
B組公理（類的存在公理）
① 存在一類E，它的元素都是有序對集合，並且這一序對的第一元屬於第二元。也就是說，存在一類X,使得對於任意的集合x與y，〈x,y〉屬於X若且唯若x∈y；
② 對於任意的類X，Y，都有一類Z，它為X與Y的交類；
③ 對於任意的類X，它的補也是一類；
④ 對於任意的類X，它的元素中有序對的第一元組成一類；
⑤ 對於任意的類X,它的元作為有序對的第一元,而第二元為任意的集合，所有這些有序對組成一類；
⑥ 對於任一類X,它的逆(記為X_1)也是一類，其中X_1是這樣定義的:對於任意的集合S1,S2,有:<S1,S2>∈X若且唯若<S2,S1>∈X_1；
⑦ 對於任一類 X，存在一類Y，使得對於任意的三元組〈x,y,z〉,有〈x,y,z〉∈X若且唯若〈y,z,x〉∈Y；
⑧ 對於任一類X,存在一類Y，使得對於任意的三元組〈x,y,z〉,有〈x,y,z〉∈X若且唯若〈x,z,y〉∈Y。
C組公理（集合的存在公理）
① 無窮公理 存在一集合，它具有無窮多個元素；
② 並集合公理 任一集合的所有的元的元組成一集合；
③ 冪集合公理 任一集合的所有的子集合組成一集合；
④ 替換公理 對於描述一對一的類X,也就是說,對於任意集合y，至多有一集合z，使得〈y,z〉∈X。這時，若把X 中有序對的第一元限制在一給定的集合S1內，則X中相應於S1中元的有序對的第二元也是一集合；
不難看出，上述公理①、②、③分別與ZF中的公理⑥、④、⑤是相同的。而公理④與ZF中的公理⑧也是類似的，不同的是在那裡的前提是一具有一對一性質的公式,這裡是一對一性質的類。因此，ZF是一公理模式,而GB不是模式。不難驗證,B組公理是對應於公式的通常運算的一組公理。
D組公理（類似於ZF的正則公理） 對於任意的不空類X，都有一集合y∈X，且y與X不交。
E組公理（選擇公理） 它比ZF中的相應公理稍強一些。具體地說，存在一類 X，它的元素都是有序對集合，具有一對一的性質，亦即，對於任一集合y，恰有集合z，使得〈y,z〉∈X,且對於任一不空集合y，有z∈y，使得〈y,z〉∈X。
這五組公理中，沒有公理模式。因此，它是一有窮的公理系統。這是它的重大特點之一。它規定真類不能作為類的元素，從而擺脫了以往的悖論。
集合論公理系統並不是隨意的，而是有它的科學標準，這就是：①能夠描述康托爾理論的豐富內容，建立康托爾理論中已有的定理；②能夠擺脫以往出現的悖論；③便於解決集合論未解決的問題，中心問題是連續統假設。前兩條是基本的。當然，能否確保一系統的協調性，總是人們關心的首要問題。但是由哥德爾第二不完備性定理可知，如此豐富的集合論公理系統，如果是協調的，那么在其內部也是無法證明的，而須藉助於更強的公理才能證明。例如，若存在大基數作為一公理的話，則ZF是協調的。關於③，由哥德爾與科恩的工作可知，連續統假設在ZF（或GB）中是不可判定的，它即不能被證明，也不能被否證。換言之,在著名的集合論公理系統中,都不足以解決連續統假設。這正是人們不斷地尋求新公理系統的主要原因。人們總希望能找到科學的為大家所能接受的公理系統，並且得以解決著名的未解決的問題。
參考書目
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