傳遞閉包

傳遞閉包、即在數學中，在集合 X 上的二元關係 R 的傳遞閉包是包含 R 的 X 上的最小的傳遞關係。
例如，如果 X 是(生或死)人的集合而 R 是關係“為父於”，則 R 的傳遞閉包是關係“x 是 y 的祖先”。再比如，如果 X 是空港的集合而關係 xRy 為“從空港 x 到空港 y 有直航”，則 R 的傳遞閉包是“可能經一次或多次航行從 x 飛到 y”。
存在性和描述
對於任何關係 R，R 的傳遞閉包總是存在的。傳遞關係的任何家族的交集也是傳遞的。進一步的，至少存在一個包含 R 的傳遞關係，也就是平凡的: X × X。R 傳遞閉包給出自包含 R 的所有傳遞關係的交集。
我們可以用更具體術語來描述 R 的傳遞閉包如下。定義在 X 上的一個關係 T，稱 xTy 若且唯若存在有限的元素(xi)序列，使得 x = x0 並且
x0Rx1, x1Rx2, …, xn−1Rxn 和 xnRy
形式上寫為
容易檢查出關係 T 是傳遞的並且包含 R。進一步的，任何包含 R 的傳遞關係也包含 T，所以 T 是 R 的傳遞閉包。
[編輯]證實 T 是包含 R 的最小傳遞關係
設 A 是任何元素的集合。
假定: GA 傳遞關係 raga TAGA。所以 (a,b)GA(a,b)TA. 所以，特定的 (a,b)RA。
現在通過 T 的定義，我們知道了 n (a,b)RnA。接著，i, in eiA。所以，有從 a 到 b 路徑如下: aRAe1RA...RAe(n-1)RAb。
但是，通過 GA 在 RA 上的傳遞性，i, in (a,ei)GA，所以，(a,e(n-1))GA (e(n-1),b)GA，所以通過 GA 的傳遞性，我們得到了 (a,b)GA。矛盾於 (a,b)GA。
因此，(a,b)AA, (a,b)TA (a,b)GA。這意味著 TG，對於任何包含 R 的傳遞的 G。所以，T 是包含 R 的最小傳遞閉包。
[編輯]推論
如果 R 是傳遞的，則 R = T。
[編輯]用途
注意兩個傳遞關係的並集不必須是傳遞的。為了保持傳遞性，必須採用傳遞閉包。例如，這出現在取兩個等價關係或預序的並的時候。為了獲得新的等價關係或預序，必須選用傳遞閉包(自反性和對稱性 — 在等價關係的情況下 — 是自動的)。
有向無環圖(DAG)的傳遞閉包是 DAG 的可到達性關係和一個嚴格偏序。
[編輯]與複雜性的關係
在計算複雜性理論中，複雜度類 NL 嚴格對應於可使用一階邏輯和傳遞閉包表達的邏輯句子的集合。這是因為傳遞閉包性質有密切關係於 NL-完全問題 STCON，找到在一個圖中的有向路徑。類似的，類 L 是一階邏輯帶有交換傳遞閉包。在向二階邏輯增加了傳遞閉包的時候，我們得到 pSpace。
[編輯]有關概念
關係 R 的傳遞簡約是有 R 作為它的傳遞閉包的最小關係。一般的說它不是唯一的。
[編輯]算法
計算圖的傳遞閉包的有效算法可見於 here。最簡單的技術是Floyd-Warshall算法。