概念
在數學裡，作用於一個有限維的內積空間，一個自伴運算元(self-adjoint operator)等於自己的伴隨運算元；等價地說，表達自伴運算元的矩陣是埃爾米特矩陣。埃爾米特矩陣等於自己的共軛轉置。根據有限維的譜定理，必定存在著一個正交歸一基，可以表達自伴運算元為一個實值的對角矩陣。
基本原理
自伴運算元 
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自伴運算元 自伴運算元 定義：設 是 空間 上的稠定線性運算元，如果 ⊂ ，則稱 為對稱運算元；如果 ，則稱 為自伴運算元。
自伴運算元 
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自伴運算元 例子：設 為 上的 平方可積函式空間，即 ，在 上定義運算元 如下：
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自伴運算元 自伴運算元 ={ 在 絕對連續， }，
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自伴運算元 則 。定義運算元
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自伴運算元 顯然有 ⊂ ⊂ 。下面來證明
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自伴運算元 根據這個結果可知 ⊂ ⊂ ，故 是對稱運算元， 是對稱運算元 的自伴擴張，但作為 擴張的 滿足 ⊃ ，從而並非對稱的。
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自伴運算元 下面證明 。注意到 ， ，其中 有
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自伴運算元 因此， ⊂ ，即 ⊂ ， ⊂ ， ⊂ 。
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自伴運算元 其次，設 ， ， ，對於 ，有
自伴運算元 即
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自伴運算元 當 或 時，因 包含非零常數，故由上式可得 。當 時， 。這樣，總有
自伴運算元 因而
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自伴運算元 自伴運算元 自伴運算元 當 時，因 ，故 。又因 ，故 。這樣， ，即 ⊂ 。
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自伴運算元 對 ，當 時， ，故而
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自伴運算元 因而 ， 是由常值函式組成的一維子空間。這樣，
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自伴運算元 自伴運算元 自伴運算元 當 時，因 ，故 ，即 ，所以 ，即 ⊂ 。
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自伴運算元 自伴運算元 自伴運算元 當 時，由 得 是絕對連續函式， ，從而 ，這樣 ⊂ 。證畢。
