定義
笛卡爾乘積設A,B為集合，用A中元素為第一元素，B中元素為第二元素構成有序對，所有這樣的有序對組成的集合叫做A與B的笛卡爾積，記作AxB.
笛卡爾積的符號化為：
A×B={(x,y)|x∈A∧y∈B}
例如，A={a,b}, B={0,1,2}，則
A×B={(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}
B×A={(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
運算性質
1.對任意集合A，根據定義有
AxΦ =Φ ，Φ xA=Φ
2.一般地說，笛卡爾積運算不滿足交換律，即
AxB≠BxA（當A≠Φ ∧B≠Φ∧A≠B時）
3.笛卡爾積運算不滿足結合律，即
（AxB)xC≠Ax(BxC）（當A≠Φ ∧B≠Φ∧C≠Φ時)
4.笛卡爾積運算對並和交運算滿足分配律，即
Ax(B∪C)=(AxB）∪（AxC)
(B∪C)xA=(BxA）∪（CxA)
Ax(B∩C)=(AxB）∩（AxC)
(B∩C)xA=(BxA）∩（CxA)
相關案例
給出三個域：
D1=SUPERVISOR ={ 張清玫，劉逸 }
D2=SPECIALITY={計算機專業，信息專業}
D3=POSTGRADUATE={李勇，劉晨，王敏}
則D1，D2，D3的笛卡爾積為D：
D=D1×D2×D3 =
{（張清玫，計算機專業，李勇），（張清玫，計算機專業，劉晨），
（張清玫，計算機專業，王敏），（張清玫，信息專業，李勇），
（張清玫，信息專業，劉晨），（張清玫，信息專業，王敏），
（劉逸，計算機專業，李勇），（劉逸，計算機專業，劉晨），
（劉逸，計算機專業，王敏），（劉逸，信息專業，李勇），
（劉逸，信息專業，劉晨），（劉逸，信息專業，王敏） }
這樣就把D1,D2,D3這三個集合中的每個元素加以對應組合，形成龐大的集合群。
本個例子中的D中就會有2X2X3個元素，如果一個集合有1000個元素，有這樣3個集合，他們的笛卡爾積所組成的新集合會達到十億個元素。假若某個集合是無限集，那么新的集合就將是有無限個元素。
程式代碼
C#原始碼
using System;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using System.Text;
using System.Linq;
public class Descartes
{
public static void run(List> dimvalue, List result, int layer, string curstring)
{
if (layer < dimvalue.Count - 1)
{
if (dimvalue[layer].Count == 0)
run(dimvalue, result, layer + 1, curstring);
else
{
for (int i = 0; i < dimvalue[layer].Count; i++)
{
StringBuilder s1 = new StringBuilder();
s1.Append(curstring);
s1.Append(dimvalue[layer][i]);
run(dimvalue, result, layer + 1, s1.ToString());
}
}
}
else if (layer == dimvalue.Count - 1)
{
if (dimvalue[layer].Count == 0) result.Add(curstring);
else
{
for (int i = 0; i < dimvalue[layer].Count; i++)
{
result.Add(curstring + dimvalue[layer][i]);
}
}
}
}
}
程式使用說明
（1）將每個維度的集合的元素視為List,多個集合構成List> dimvalue作為輸入
（2）將多維笛卡爾乘積的結果放到List result之中作為輸出
（3）int layer, string curstring只是兩個中間過程的參數攜帶變數
（4）程式採用遞歸調用，起始調用示例如下：
List result = new List();
Descartes.run(dimvalue, result, 0, "");
即可獲得多維笛卡爾乘積的結果。
