模函式
解析函式的許多經典理論如整函式理論中的皮卡定理、正規族理論中的一些判定定理，都可藉助模函式的性質來證明。如圖1
,在z平面中取單位圓│z│<1,在其周界上按反時針向依次任取三點A，B，C,並作一圓弧三角形ABC，其每邊均與│z│=1正交，構成一區域D0(圖中斜線區)。在w平面中實軸上取定三點α(=0),β(=1),γ(=∞)。由共形映射的黎曼定理,存在一單葉解析函式w =ƒ(z),把D0映到w 的上半平面，並使A，B，C分別映到α，β，у。根據對稱性原理,w =ƒ(z)可解析開拓到圓弧三角形Dó中，這裡Dó是D0關於AB 弧的對稱反演區域(C點反演成圓周│z│=1上另一點C┡),而函式值則取在w 的下半平面,此下半平面與原上半平面沿線段αβ相粘連。同理,w=ƒ(z)又可分別解析開拓到D0的關於CA弧和BC弧的對稱圓弧三角形中，其函式值也在w 的下半平面中，它們分別與上半平面沿半直線 γα 和 βγ 相粘連。這樣,得到了│z│<1中的一圓弧六邊形區域,w =ƒ(z)在其中解析，取值於整個w 平面中如上粘連的一個上半平面和三個下半平面。再以此六邊形的各邊進行反演，則w＝ƒ(z) 又可再次解析開拓到|z|< 1中邊數更多的圓弧形區域中(仍在|z|<1內),取值又回到w 的上半平面，並與上面已取得的下半平面分別沿αβ，βу,уα之一相粘連。如此無限繼續下去,則w =ƒ(z)就開拓成為整個│z│< 1內的解析函式,其所取之值在w平面上形成一無限層的黎曼曲面。w =ƒ(z)稱為模函式。其反函式z=φ(w)是整個w平面除0，1，∞外的多值解析函式，或者可說成是上述黎曼曲面上的單值解析函式。 模函式w =ƒ(z)單值解析於|z|<1內，顯然不取值0，1,∞,且當z從單位圓內部以任意方式趨於其周界上一點時,不可能有確定的極限值,因此|z|=1是其自然邊界,即它不可能再向|z|=1之外進行解析開拓。
也可用一分式線性變換t=ω(z),|z|<1,把z變到t平面的上半平面，使A,B,C 分別變成實軸的α,b以及с=∞，而D0變成區域墹 0（圖2
），當D0關於其一邊界圓弧作對稱反演時，相應地墹 0也關於其相應邊作對稱反演。 設t=ω(z)的反函式為z=λ(t)，則
w =ƒ(z)=ƒ(λ(t))=φ(t)
就把t的上半平面映成w平面的上述黎曼曲面。φ(t)也稱為模函式，其性質本質上與ƒ(z)相類似。如果把構成模函式w=ƒ(z)過程中所作的種種關於圓弧的反演變換記為T1，T2,…，則對於任何Tj，ƒ(z)與ƒ(Tjz)互為共軛。因此,對任何兩個Tj,Tk，恆有ƒ(z)=ƒ(TjTkz)，即當z經過兩次這類反演後，其函式值ƒ(z)不變。如果把偶數個這種反演及其逆作為元素，它們生成一變換群G，則當z經G任一元變換後，函式值ƒ(z)不變。稱G為模函式w=ƒ(z)的不變群,也稱ƒ(z)為關於群G 的自守函式（見橢圓函式）。
