Hp 空間

Hp 空間，又稱哈代空間，勒貝格空間(lp)以外重要的函式空間之一。單變數的hp空間，最早來源於複變函數論。

Hp 空間

正文

又稱哈代空間，勒貝格空間(lp)以外重要的函式空間之一。
單變數的hp空間，最早來源於複變函數論。設F(z)在複平面的單位圓D(｜z｜<1)內解析，量

化學表達式 (1)刻畫了F 的模的p 次冪在圓周 ｜z｜=r上的平均值的大小。假如它對0＜r＜1有界,其中0＜p＜∞,則稱F是屬於hp(D)的。當p≥1時,用μp(F，r)在0＜r＜1的上確界定義F 的hp 模，即

，

則hp(D)組成一可分的巴拿赫空間，當 0＜p＜1 時，用的上確界定義F 與G 的距離，即

，

則hp(D)組成一可分的完備的度量空間。hp(D)是複變函數論的一個重要的研究對象。
可以證明，當F∈hp(D)(0<p<∞) 時，F(z)在單位圓周上的邊值幾乎處處存在，即

。

這時ƒ(θ)定義在0≤θ≤2π上（也可以看作一周期為2π的函式），且滿足相應的不等式

。 (2)

這樣,在這些以2π為周期的復值函式ƒ(θ)與單位圓內的hp(D)中的函式 F(z)之間,建立了一個對應關係：ƒ(θ)是F(z)在｜z｜=1的某種意義的邊值，而F(z)是ƒ(θ)到單位圓內的解析開拓。全體這樣的ƒ(θ)記作hp(T)。它是與hp(D)同構的一個空間。hp(T)同以 2π為周期的勒貝格空間lp(T)的區別在於:hp(T)的函式ƒ(θ)不僅滿足不等式(2)，而且它還必須是某個滿足

的單位圓內的解析函式F(z)的邊值。由此不難證明，當p>1時，hp(T)同構於lp(T)，但當0＜p≤1時,兩者就不同構了。例如在p =1時，h1(T)本質上不同於l1(T)。事實上h1(T)同構於l1(T)的一個真子空間，它由全體使得愝(θ∈l1(T)的ƒ∈l1(T)組成,其中愝(θ)是ƒ(θ的共軛函式，其定義由下面的等式給出

。

並且的大小與 的大小是差不多的。歷史上,1915年英國數學家G.H.哈代引入了hp函式類,1923年匈牙利數學家F.（F.）里斯證明它們是完備的賦范空間或度量空間，並命名它們為哈代空間或簡稱hp空間。
對於上半平面內的解析函式F(z)，其中z=x+iy，可以類似地用

在y>0上有界來定義。這時它們的邊值

就是定義在實數軸R上的函式,而不是周期函式了。全體這樣的函式記作hp(R)。
在傅立葉分析中，有很多定理對lp(p>1)成立,對l1並不成立，但對h1, 相應的結果卻是對的。典型的例子是哈代-李特爾伍德定理:如果ƒ∈lp(T)(1<p≤2)是周期函式，它的傅立葉級數是，則

。

這定理對p=1是不正確的。但可改為,若ƒ∈h1(T),ƒ(θ)的傅立葉級數為，則定理的結果對p=1成立，即

。

由此可見，在討論傅立葉分析的許多問題中，hp是較lp更為合適的空間（當0<p≤1）。
多變數hp空間的建立卻要晚得多，這是因為單元hp空間的定義緊密依賴於單元解析函式，然而形式地通過多元解析函式來定義多元hp空間，由於多元解析函式較單元解析函式複雜得多,未能得到預期的結果,因此需要尋求另外的辦法。1960年E.M.施坦和G.韋斯把上半平面的解析函式的實部與虛部的概念推廣到 n+1維歐氏空間的上半空間，得到共軛調和函式系的概念。在的前提下,定義了。與上半平面的情形相類似,共軛調和函式系在y→0+時的邊值函式構成hp(Rn)。1964年A.P.考爾德倫與A.贊格蒙把 的條件改進為p>0，但形式上十分複雜。把hp(R)了解為hp(R崹)的廣義函式意義的邊值, 1970年D.L.伯克霍爾德、R.F.岡迪與M.L.西爾弗斯坦證明了廣義函式ƒ是hp(R)(p>0)中某個元素的實部的充分必要條件是極大函式

　 　(3)

式中φ(x)是具有一定光滑性且在無窮遠附近的大小受一定限制的函式，，*表示卷積。1972年C.費弗曼和斯坦把這個結果推廣到了多元的情形。值得注意的是，M(ƒ∈lp這條件完全和解析函式的概念無關,它給出了hp空間的實變函式論特徵。這樣，就可以用類似於(3)的條件來定義 hp(Rn)本身而無須藉助任何解析函式或調和函式的概念了。
1972年費弗曼和施坦還證明了,h1(Rn) 的對偶空間是BMO 空間。h1和BMO對偶關係的發現,使人們對這兩個空間的認識深入了一大步。它們已經成了Lp(Rn)(1≤p≤∞)空間理論的必不可少的補充。
近年來,數學家還找到了hp空間的許多其他特徵,使hp空間有許多的推廣。傅立葉分析、複分析、泛函分析以及偏微分方程的許多問題,都是在hp空間與BMO空間中進行討論的。此外,hp空間和BMO空間理論也進入到了機率論的鞅論中。

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