微分對策
微分對策的最優策略所應滿足的必要條件，可象最優控制理論中的極大值原理那樣導出。微分對策實質上是一種雙（多）方的最優控制問題，而通常的最優控制問題可看成是單人微分對策。微分對策還可推廣到由差分方程描述的離散時間動態系統，因而常常更廣義地稱為動態對策。微分對策的研究始於20世紀40年代。R.艾薩克斯在1965年對完全對抗的二人零和對策問題的研究，奠定了微分對策理論的基礎。微分對策已套用于軍事、公安、工業控制、航天航空、環境保護、海洋捕撈、經濟管理和市場競爭等方面。微分對策所提供的數學模型還可能套用於更多的方面。例如，在微分對策中，套用突變論的概念可導致對不連續性和奇異性進行分類研究。此外，還可探討當約束條件、控制策略或合作關係處於模糊情況時（見模糊控制）的微分對策問題。在對策問題中，決策人都以對方的行為模型作為自己決策的依據，因此微分對策的研究與心理學、人工智慧、行為科學等學科都有密切的關係。構成要素和分類 構成各類微分對策的要素可歸結為：①參與對策的各方（決策人）具有不同的利益。②決策人根據自己擁有的信息作決策。③按照對策規則，決策人的地位可能不同。④對策的結局由諸決策人的控制作用共同決定。對應這些要素的不同情況，可將微分對策作各種形式的分類。按照對策人的數目分類,如n人微分對策，n可取為2、3、…。按照結局分類,如結局的得失在連續範圍內變化的問題稱定量（程度）微分對策，結局取“贏”或“輸”二者居一的問題稱定性（種類）微分對策。也可按照決策人利益的性質分類，如決策人的利益為對抗時稱零和微分對策(即各方得失總和為零)，決策人有競爭又有合作時稱非零和微分對策（如上下級之間，共同壟斷同一市場的幾個公司之間）。按照決策人間合作程度，又有組隊最優、納什平衡、帕雷托最優和協商策略等多種形式。在上下級多人決策問題中，通常要求上級決策人先宣布自己的策略，下級按照自身利益作出回響。這種策略如能使下級的行動符合上級的目標，這類微分對策便稱為上下級對策（斯塔克爾貝格對策）或激勵對策。此外,依對策問題中動態系統類型,還有偏微分對策（動態系統用偏微分方程描述）和隨機微分對策（存在隨機的干擾或觀測誤差的微分對策）。在微分對策中，決策人擁有信息的多寡，對決策的自由度和結局的優劣有明顯的影響。定量地分析這些影響，並對用於信息採集和傳輸（或破壞對方的採集與傳輸）的費用與可能取得的收益進行權衡的問題，稱為信息分配和信息結構問題。
二人零和微分對策 這是研究最多和套用較廣的一種微分對策，其動態過程可用以下狀態方程（見狀態空間法）描述：
①在定量微分對策的提法中，追方選擇u使J儘量小，而躲方選擇v使J儘量大，因此問題的解u*、v*應滿足
J(u*,v)≤J(u*,v*)≤J(u，v*)
這樣的(u*,v*)稱為鞍點策略。在一定條件下，最優控制理論中的極大值原理可推廣套用於這類問題。這種“雙方極值原理”指出了鞍點策略應滿足的必要條件：
分別表示對v取極大值與對u取極小值，而哈密頓函式規定為 
②在定性微分對策的提法中，只考慮某種結局能否實現的問題（如擊中或捕獲），可用x(t)能否達到目標集Ψ(x)≤0來描述。追方選擇u(t)力圖實現此目標，而躲方選擇v(t)力圖避免此目標。若雙方控制能力具有一定均勢,則x處於某一區域內時可以捕獲而在另一區域時能夠逃逸。這兩個區域稱為捕獲區和逃逸區，它們的分界面稱為界柵（或壁壘）。微分對策為追逃問題提供了在競爭環境中較為深刻實用的數學模型。在空空飛彈的設計中，最優控制和微分對策都被套用於制導規律的研究。微分對策對目標加速度估值誤差不敏感，比最優控制更適用於設計攔截機動目標的飛彈。
參考書目
R.Isaacs，Differential Games，Wiley，New York,1965.
T.Basar and G.J.Olsder, Dynamic Non-cooperative Game Theory, Academic Press, New York, 1982.
