二維分布

二維分布(bivariate distribution)是同時考慮兩個隨機變數的情況，表示特性值或特性值組與相應頻率(或頻數) 之間的對應關係，或者是同時考慮的兩個隨機變數取給定值或屬於一個給定值集的機率分布所確定的函式稱為二維分布 。

定義

定義隨機變數ξ 和η (有時也稱為二維隨機向量（ξ，η）的二維(聯合)分布函式為：

二維分布

二維分布

不難推知：（ξ，η） 落在矩形區域 上的機率為圖(1)：

圖1

二維分布

二維分布

二維分布函式具有以下一些明顯的性質：

(1) F(x,y)是x和y的非減函式。

二維分布

二維分布

即： ，當

二維分布

二維分布

當 。

(2) 在-∞處分布函式等於零，即

二維分布

二維分布

(3) 當任一個隨機變數的值趨於 時，便得到另一個隨機變數的(一維)分布函式。

二維分布

二維分布

二維分布

二維分布

二維分布

二維分布

和 分別叫做隨機變數 和 的邊際分布函式。

(4) 當x，y均趨向於﹢∞時，分布函式趨於1。

二維分布

下面分別研究通常所遇見的兩種類型的隨機變數的分布 。

離散型二維分布

離散型二維隨機變數(D.B.R.V) r= r(X，Y)取值為有限或可列無限的向量(坐標對)，則稱 r(X，Y) 為離散型隨機變數

二維分布

其分布律為

二維分布

則由規範性有

二維分布

稱為隨機向量 r的分布律，即隨機變數X和Y的聯合分布律(Joint Distribution)，似矩陣的表格顯示：

表1

二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布
二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布
二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布
二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布
二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布
二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布
二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布	二維分布

連續型二維分布

連續型二維隨機變數 如果存在非負可積二元函式f(x,y)，使得隨機向量 r= r(X，Y) 的分布函式F(x，y)可表示為f(x,y)的變上限積分形式

二維分布

則稱(X，Y)為連續型二維隨機變數(C.B.R.V)；非負可積函式f(x,y)稱為(X，Y)的聯合機率密度(Bivariate Density Function) 。

密度函式f(x,y)≥0的基本性質。

(1)非負性：f(x,y)≥0；

二維分布

(2)規範性：

(3)機率意義：隨機點(X，Y)落在某平面域D上的機率是密度函式在區域上的二重積分(圖2)，即

二維分布

(4)在f(x,y)的連續點處，有

二維分布

圖2 隨機點(X,Y) 落在某平面域上的機率

即密度是二元分布函式的二階混合偏導 。