三等分角

三等分角

三等分角是古希臘三大幾何問題之一。三等分角是古希臘幾何尺規作圖當中的名題,和化圓為方、倍立方問題被並列為古代數學的三大難題之一,而如今數學上已證實了這個問題無解。該問題的完整敘述為:在只用圓規及一把沒有刻度的直尺將一個給定角三等分。在尺規作圖(尺規作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規作圖)的前提下,此題無解。若將條件放寬,例如允許使用有刻度的直尺,或者可以配合其他曲線使用,可以將一給定角分為三等分。

發展史

紀元前五、六百年間希臘的數學家們就已經想到了二等分任意角的方法,正像我們在幾何課本或幾何畫中所學的:以已知角的頂點為圓心,用適當的半徑作弧交角兩的兩邊得兩個交點,再分別以這兩點為圓心,用一個適當的長作半徑畫弧,這兩弧的交點與角頂相連就把已知角分為二等分。二等分一個已知角既是這么容易,很自然地會把問題略變一下:三等分怎么樣呢?這樣,這一個問題就這么非常自然地出現了。

問題提出

公元前4世紀,托勒密一世定都亞歷山大城。他憑藉優越的地理環境,發展海上貿易和手工藝,獎勵學術。他建造了規模宏大的“藝神之宮”,作為學術研究和教學中心;他又建造了著名的亞歷山大圖書館,藏書75萬卷。托勒密一世深深懂得發展科學文化的重要意義,他邀請著名學者到亞歷山大城,當時許多著名的希臘數學家都來到了這個城市。

亞歷山大城郊有一座圓形的別墅,裡面住著一位公主。圓形別墅中間有一條河,公主的居室正好建立在圓心處。別墅南北圍牆各開了一個門,河上建了一座橋,橋的位置和南北門位置恰好在一條直線上。國王每天賞賜的物品,從北門運進,先放到南門處的倉庫,然後公主再派人從南門取回居室。

一天,公主問侍從:“從北門到我的臥室,和從北門到橋,哪一段路更遠?”侍從不知道,趕緊去測量,結果是兩段路一樣遠的。

過了幾年,公主的妹妹小公主長大了,國王也要為她修建一座別墅。小公主提出她的別墅要修的像姐姐的別墅那樣,有河,有橋,有南北門。國王滿口答應,小公主的別墅很快就動工了,當把南門建立好,要確定橋和北門的位置時,卻出現了一個問題:怎樣才能使得北門到臥室和北門到橋的距離一樣遠呢?

問題解答

三等分角 三等分角

已知南門位置為P,臥室(圓心)為O,設北門位置為Q,橋為K,要確定北門的和橋的位置,關鍵是做出∠OQK,設OP和OK的夾角是α

由 QK=QO,

得 ∠QKO=∠QOK

在△OKP中,

∠OKP=180°-α-∠KPO

所以∠QKO=α+∠KPO,

又因為OP=OQ

所以∠OQK=∠OPK

在△QKO中,

∠QKO+∠QOK+∠OQK

=(α+∠KPO)+(α+∠KPO)+∠KPO

=3∠KPO+2α=180°

即∠KPO=(180°-2α)/3 = ∠QOK

只要能把180°-2α這個角三等分,就能夠確定出橋和北門的位置了。解決問題的關鍵是如何三等分一個角。

但是不存在能三等分任意給定角的純尺規方法。

問題發展

工匠們試圖用尺規作圖法確定出橋的位置,可是他們用了很長的時間也沒有解決。於是他們去請教阿基米德。

阿基米德用在直尺上做固定標記的方法,解決了三等分一角的問題,從而確定了北門的位置。正當大家稱讚阿基米德了不起時,阿基米德卻說:“這個確定北門位置的方法固然可行,但只是權宜之計,它是有破綻的。”阿基米德所謂的破綻就是在尺上做了標記,等於是做了刻度,這在尺規作圖法中則是不允許的。

這個故事提出了一個數學問題:如何尺規三等分任意已知角,這個問題連阿基米德都沒有解答出來。

定義

三等分角 三等分角
三等分角 三等分角
三等分角 三等分角

為了闡述尺規作圖的可能性的充要條件,首先需要把幾何問題轉換成代數的語言。一個平面作圖問題,前提總是給了一些平面圖形,例如,點、直線、角、圓等,但是直線是由二點決定的,一個角可由其頂點和每邊上取一點共三點決定的,圓由圓心和圓周的一點決定,所以平面幾何作圖問題總可以歸結為給定n個點即n個複數 (當然還有z=1)。尺規作圖過程也可以看作利用圓規和直尺不斷得到新的複數,所以問題就變成為:給了一批覆數 和z,能否從 出發利用尺規得到預先希望得到的複數Z。為討論方便給出如下遞歸定義:

定義:設S={Z=1Z... Z}是n+1個複數,將

(1) Z=1Z... Z叫做S-點;

(2) 過兩個不同的S-點的直線叫S-直線,以一個S-點為圓心、任意兩個S-點之間的距離為半徑的圓叫S-圓;

(3) 由S-直線與S-直線、S-直線與S-圓、S-圓與S-圓相交的點也叫S-點。

上面這個定義完全刻畫了尺規作圖過程,如果以P表示全體S-點的集合,那么P也就是從S={Z=1Z... Z}出發通過尺規作圖所得到的全部複數。

定理證明

定理:設Z... Z(n≥0)為n個複數。設F= Q(Z... ZZ'... Z'),(Z'代表共軛複數),那么,一個複數Z可由S={Z=1Z... Z}作出的充要條件是 Z屬於F(u,... u)。 其中u 屬於F, u 屬於F(u,... u)。換言之,

系: 設S={Z=1Z... Z},F= Q(Z... ZZ'... Z'),Z為S-點,則 [ F(z) :F] 是2的方冪。

以下證明三等分任意角不可能性,證明尺規作圖不能三等分60度角:

證明:所謂給了60度角,相當於給了複數Z1=1/2+√3/2 i。從而S={Z0=1, Z1},F=Q(z1, z1')=Q(√-3)。如果能作出20度角,當然也能得到cos20,但是cos20滿足方程 4x -3x-1/2=0,即8x -6x-1=0。由於8x -6x-1在Q[x]中不可約,從而[Q(cos20):Q]=3,於是

6=[ Q(cos20, √-3):Q] = [F(cos20):Q]=[F(cos20):F] [F:Q]

由於[F:Q]=[Q(√-3):Q]=2,所以[F(cos20):F]=3,根據上面的系可知cos20不是S-點 ,從而20度不可能三等分。 證畢

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