尺規作圖
尺規作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規作圖。尺規作圖是起源於古希臘的數學課題。只使用圓規和直尺，並且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題。
尺規作圖是起源於古希臘的數學課題。只使用圓規和直尺，並且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題。
平面幾何作圖，限制只能用直尺、圓規。在歷史上最先明確提出尺規限制的是伊諾皮迪斯。他發現以下作圖法：在已知直線的已知點上作一角與已知角相等。這件事的重要性並不在於這個角的實際作出，而是在尺規的限制下從理論上去解決這個問題。在這以前，許多作圖題是不限工具的。伊諾皮迪斯以後，尺規的限制逐漸成為一種公約,最後總結在《幾何原本》之中。
若干著名的尺規作圖已知是不可能的，而當中很多不可能證明是利用了由19世紀出現的伽羅華理論。儘管如此，仍有很多業餘愛好者嘗試這些不可能的題目，當中以化圓為方及三等分任意角最受注意。數學家Underwood Dudley曾把一些宣告解決了這些不可能問題的錯誤作法結集成書。
問題歷史
背景故事公元前4世紀，托勒密一世定都亞歷山大城。他憑藉優越的地理環境，發展海上貿易和手工藝，獎勵學術。他建造了規模宏大的“藝神之宮”，作為學術研究和教學中心；他又建造了著名的亞歷山大圖書館，藏書75萬卷。托勒密一世深深懂得發展科學文化的重要意義，他邀請著名學者到亞歷山大城，當時許多著名的希臘數學家都來到了這個城市。
亞歷山大城郊有一座圓形的別墅，裡面住著一位公主。圓形別墅中間有一條河，公主的居室正好建立在圓心處。別墅南北圍牆各開了一個門，河上建了一座橋，橋的位置和南北門位置恰好在一條直線上。國王每天賞賜的物品，從北門運進，先放到南門處的倉庫，然後公主再派人從南門取回居室。
一天，公主問侍從：“從北門到我的臥室，和從北門到橋，哪一段路更遠？”侍從不知道，趕緊去測量，結果是兩段路一樣遠的。
過了幾年，公主的妹妹小公主長大了，國王也要為她修建一座別墅。小公主提出她的別墅要修的像姐姐的別墅那樣，有河，有橋，有南北門。國王滿口答應，小公主的別墅很快就動工了，當把南門建立好，要確定橋和北門的位置時，卻出現了一個問題：怎樣才能使得北門到臥室和北門到橋的距離一樣遠呢？
設北門的位置為Q、南門的位置為P、臥室（圓心）為O、橋為K。
要確定北門的和橋的位置，關鍵是做出∠OPQ，設PO和河流的夾角是α
由 QK=QO，
得 ∠QKO=∠QOK
但是∠QKO=α+∠KPO，
又∠OQK=∠opk
所以在△QKO中，
∠QKO+∠QOK+∠OQK
=（α+∠KPO）+（α+∠KPO）+∠KPO
=3∠KPO+2α=π
即∠KPO=（π-2α）/3
只要能把180-2α這個角三等分，就能夠確定出橋和北門的位置了。解決問題的關鍵是如何三等分一個角。
工匠們試圖用尺規作圖法確定出橋的位置，可是他們用了很長的時間也沒有解決。於是他們去請教阿基米德。
阿基米德用在直尺上做固定標記的方法，解決了三等分一角的問題，從而確定了北門的位置。正當大家稱讚阿基米德了不起時，阿基米德卻說：“這個確定北門位置的方法固然可行，但只是權宜之計，它是有破綻的。”阿基米德所謂的破綻就是在尺上做了標記，等於是做了刻度，這在尺規做圖法中則是不允許的。
這個故事提出了一個數學問題：如何尺規三等分任意已知角，這個問題連阿基米德都沒有解答出來。
簡述不可能性之證明
現在已經證明，這個問題是沒有辦法在給定的條件之下完成的。其理論依據出自於十九世紀發展出來的體論。
任何可以在尺規作圖規定下完成的幾何物件，其座標需為規矩數，規矩數的必要條件為一代數數，且最小多項式次數為2^n。 假設可以用尺規作圖將任意角三等分，代表對任意角度 A，均可以由尺規作圖得到A/3 ，而 cosA/3也會是規矩數。
令 A= π/3, x= cosA/3= cosπ/9
根據三倍角公式：
cosA =4cos^3A/3-3cosA/3
因此
4x^3-3x=cosA=cosπ/3=1/2
8x^3− 6x− 1 = 0
此方程式無有理數解，且其次數為 3，不滿足 2^n的形式，因此 x（= cosπ/9）不是規矩數，也就代表無法用尺規作圖得到 π/9與假設矛盾，因此無法用尺規作圖將任意角三等分，三等分角問題因而宣告無解。
