開平方

定義求一個數a的平方根的運算，叫做開平方（extraction of square root),其中a叫做被開方數。在實數範圍內a必須大於或等於零，即a為非負數；在複數範圍內，定義i的平方是-1，即-1的平方根是+/-i，記作i^2=-1。開方公式X（n + 1） = Xn + (A / Xn – Xn)1 / 2.。（n，n+1與是下角標）開平方的理論依據開平方是平方的逆運算，只要我們知道平方的計算方法，開平方就迎刃而解了。我們令10位數值為A，個位數值為B，即為A*10+B，根據二數和的平方有：(Ax10+B)^2=(Ax10)^2+2(Ax10)xB+B^2=(A^2)x100+(20A+B)xB。舉例說明：例359^2計算方法1、3^2=9，2、(20x3+5)x5=325，3、(20*35+9)*9=6381，4、將這些數，按兩位分節合起來：90000+32500+6381=128881。得359^2=128881。將這些計算步驟倒過來，就是開平方。同理，可以得開立方及N次方的方法。

開方的計算步驟

開平方

1．將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段，用撇號分開（豎式中的11’56），分成幾段，表示所求平方根是幾位數；

筆算開平方方法

2．根據左邊第一段里的數，求得平方根的最高位上的數（豎式中的3）；

3．從第一段的數減去最高位上數的平方，在它們的差的右邊寫上第二段數組成第一個餘數（豎式中的256）；

4．把求得的最高位數乘以20去試除第一個餘數，所得的最大整數作為試商（20×3除256，所得的最大整數是 4，即試商是4）；

5．用所求的平方根的最高位數的20倍加上這個試商再乘以試商．如果所得的積小於或等於餘數，試商就是平方根的第二位數；如果所得的積大於餘數，就把試商減小再試（豎式中（20×3+4）×4=256，說明試商4就是平方根的第二位數）；

6．用同樣的方法，繼續求平方根的其他各位上的數．

如遇開不盡的情況，可根據所要求的精確度求出它的近似值．

例如求 的近似值（精確到0.01），可列出上面右邊的豎式，並根據這個豎式得到。

筆算開平方運算較繁，在實際中直接套用較少，但用這個方法可求出一個數的平方根的具有任意精確度的近似值．

實例開方公式

開平方

例如，A=5：

5介於2的平方至3的平方;之間。我們取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我們最好取 中間值2.5。

第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；輸入值大於輸出值，負反饋；

即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位數2.2。

第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；輸入值小於輸出值，正反饋；

即5/2.2=2.27272，2.27272-2.2=0.07272，0.07272×1/2=0.03636，2.2+0.03636=2.23636。取3位數2.23。

第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。

即5/2.23=2.2421525，,2.2421525-2.23=0.0121525，,0.0121525×1/2=0.00607，,2.23+0.006=2.236.，取4位數。

每一步多取一位數。這個方法又叫反饋開方，即使你輸入一個錯誤的數值，也沒有關係，輸出值會自動調節，接近準確值。

例如A=200.

200介如10的平方至20的平方之間。初始值可以取11，12，13，14，15，16，17，18，19。我們去15.

15+（200/15-15)1/2=14。取19也一樣得出14.。：19+（200/19-19)1/2=14.。

14+(200/14-14)1/2=14.1。

14.1+（200/14.1-14.1)1/2=14.14.

古代數學成就

我國古代數學的成就燦爛輝煌，早在公元前一世紀問世的我國經典數學著作《九章算術》里，就在世界數學史上第一次介紹了上述筆算開平方法．據史料記載，國外直到公元五世紀才有對於開平方法的介紹．這表明，古代對於開方的研究我國在世界上是遙遙領先的．