概念介紹
鏈群(chain group )是建立同調群的重要概念。設K是一個n維復形，它的全體q維單形的集合記為{|i=1，2，…，α，q=0，1，…，n}。設s是q維單形任意選定了一個定向後形成的有向單形，當q=0時，記s=+〈a〉，則這樣的有向單形組：
鏈群稱為復形K的有向單形的一個基本組。對於整數加群Z中的整數g，約定gs=(-g)(-s)，則以整數為係數的任意一個線性組合：
鏈群稱為K的一個q維鏈；當其係數全為零時，這個鏈用0表示。若另有q維鏈：
鏈群定義它們的和為：
鏈群則對這樣的加法，K的全體q維鏈形成一個自由交換群，稱為K的q維鏈群，記為C(K;Z)，或簡記為C(K)。基本組{s}為這鏈群的一組基。為了方便也可將q推廣到所有整數，當q<0或q>n時，規定C(K)=0。
群
設G是一個非空集合，G上有一個叫做乘法的代數運算，即有一個G×G到G的映射，對a，b∈G，(a，b) 在這個映射之下的象記作ab，如果以下條件被滿足，則稱G是一個群： (1) 對於任意的a，b，c∈G，(ab)c=a(bc)。(2)對任意的a，b∈G，方程ax=b，ya=b在G中有解。設G是一個群，存在唯一的元素e∈G使得對任意的a∈G，ea=ae=a，e稱為G的單位元。對任何a∈G，存在唯一的元素a∈G，使得aa=aa=e，a稱為a的逆元。一個群的元素個數如果是有限的，則稱這個群是有限群，否則，這個群稱為無限群。有限群的元素個數稱為這個群的階。對於群G的元素a，使得a=e的最小正整數m稱為a的階，這裡a表示m個a相乘的積，如果不存在這樣的正整數m，則稱a是無限階的。
設G，G是兩個群，是G到G的一個映射，如果對任意的a，b ∈ G，(ab)=φ(a)φ(b)，則稱φ是群G到G的同態。群G到G的同態φ如果是單射(滿射)，則稱φ是單同態(滿同態)，如果φ還是個一一映射，則稱是一個同構，而且稱群G與G是同構的，記作G≌G。如果一個非空集合A到自身的一些一一映射在映射的複合運算下作成一個群，這種群稱為變換群。凱萊定理指出，每個群都與一個變換群同構。有限集合到自身的一一映射稱為置換，n個元素的集合的全體置換做成的群稱為n次對稱群，記作S。設G是一個群，a∈G，規定對於正整數m，(a-1)=a，a=e，則對任何整數n，a有意義。設G是一個群，如果存在a∈G，使得G={a|n為整數}，則稱G為循環群，記作G=(a)，a稱為G的一個生成元。設G=(a)，如果a的階無限，則G與全體整數在加法運算之下做成的群同構。如果a的階為正整數n，則G與模n的剩餘類在加法運算之下做成的群同構。設G是一個群，H是G的子集，如果H對於G的運算也做成一個群，則稱H是G的一個子群。設H是群G的一個子群，對任意的a∈G，定義aH={ah|h∈H}，Ha={ha|h∈H}，aH和Ha分別稱為子群H的一個左陪集和右陪集。若G是有限群，則H的左、右陪集的個數都等於|G|/|H|。從而有限群G中每個元素的階都是G的階的因子。設H是群G的子群，如果對任意的a∈G，aH=Ha，則稱H是G的正規子群，或不變子群。設H是G的一個正規子群，H的左陪集全體記作G/H，對任意的aH，bH ∈ G/H，定義 (aH) (bH) = (ab) H，則G/H也做成一個群，這個群稱為G的一個商群，映射π： G→G/H，a→aH，是一個滿同態。設φ是群G到群G的同態，Kerφ= {a∈G|φ(a)=e}稱為φ的核。φ(G)={φ(a)|a∈G1} 稱為的象，Ker是G的正規子群，(G)是G的子群，並且(G)≌G/Kerφ。
同調群
一種重要的拓撲不變性質。可仿照線性空間的對偶空間的定義方式引入上同調群。若K是一個n維單純復形，C(K)是q維整係數鏈群，則同態c：C(K)→Z(整數加群)稱為K的一個q維上鏈。對於任意兩個q維上鏈c和d，它們的和是這樣的上鏈，它在任意x∈C(K)上取值：
鏈群所有q維上鏈在上述加法下成為一個交換群，它就是同態群Hom(C(K)，Z)，稱為K的q維上鏈群，記為C(K).為區別起見可把原來的鏈群C(K)稱為下鏈群。對於原來的邊緣同態可用對偶同態來定義上邊緣同態運算元，設：
鏈群定義δ：C(K)→C(K)，對於K的q維上鏈c，δc是一個q+1維上鏈，它在任意x∈C(K)上取值為：
鏈群從而δ°δ=0(或寫成δ°δ=0)。由此可定義C(K)的子群：
鏈群分別稱為q維上閉鏈群與上邊緣鏈群。商群：
鏈群稱為復形K的q維上同調群，這些群中元素分別稱為上閉鏈、上邊緣鏈與上同調類。相應原來的同調群可稱為下同調群。
設f：K→L是單純映射，f={f：C(K)→C(L)|q∈Z}是這單純映射誘導的鏈映射，f的對偶同態f：C(L)→C(K) (q∈Z)定義為，對於任意c∈C(L)，f(c)是K的q維上鏈，在K的q維鏈x上取值(f(c))(x)=c(f(x)).它滿足δ°f=f°δ，稱f為上鏈映射，因此f誘導出上同調群之間的同態：f：H(L)→H(K) (q∈Z)(注意與f：K→L方向相反).同樣地，可研究鏈同倫、連續映射用單純逼近定理得到的誘導同態和類似於下同調群之間誘導同態的性質，所以上同調群也具有拓撲不變性、同倫型不變性.設K是n維單純復形，其上、下同調群H(K)與H(K)的秩分別記為R與R，它們的撓子群分別記為T(K)與T(K) (q∈Z)，則上、下同調群之間有關係：
鏈群其中T(K)理解為零群。這表明上同調群由下同調群完全決定。
