配對公理

配對公理

配對公理,是在公理化集合論和使用它的邏輯、數學和計算機科學分支的Zermelo-Fraenkel集合論的公理之一。

簡介

公理化集合論和使用它的邏輯、數學和計算機科學分支中,配對公理是Zermelo-Fraenkel集合論的公理之一。

形式陳述

在Zermelo-Frankel公理的形式語言中,這個公理讀作:
給定任何集合x和任何集合y,有著一個集合A使得,給定任何集合z,z是A的成員,若且唯若z等於x或者z等於y。

解釋

這個公理實際說的是,給定兩個集合x和y,我們可以找到一個集合A,它的成員完全是x和y。我們可以使用外延公理證實這個集合A是唯一的。我們可以叫這個集合A為x和y的對(或無序對),並表示為{x,y}。所以這個公理的本質是:
任何兩個集合都有一個對。
{x,x}簡寫為{x},叫做包含x的單元素集合。注意單元素集合是對的特殊情況。
配對公理還允許定義有序對。對於任何集合a和b,有序對定義為如下:
<a,b>={{a},{a,b}}
注意這個定義滿足條件
<a,b>=<c,d>若且唯若a=c且b=d。
有序的n-元組可以遞歸的定義為如下:
<a1,a2,...,an>=<a1,<a2,...,an>>,當n>2
配對公理一般被認為是無可爭議的,它或它的等價定理出現在任何可供選擇的集合論的公理化中。不過在Zermelo-Fraenkel集合論的標準公理化中,配對公理可以從冪集公理替換公理模式中得出,所以它有時被省略。

一般化

空集公理一起,配對公理可以一般化為如下模式:
給定任何有限數目的集合x1到xn,有一個集合A,它的成員完全是x1到xn。根據外延公理這個集合A再次是唯一的,並表示為 {x1,...,xn}。
當然,在沒有構造出一些集合所歸屬的(有限)集合時,我們不能嚴格地(在一條命題中同時)提及這些集合。所以,這不是一個單一的命題而是一個模式,對每個自然數n有一個單獨的陳述。
n=1時,化為x=y=x1的配對公理。
n=2時,化為x=x1而y=x2的配對公理。
n>2時,可以多次使用配對公理和並集公理來證明。
例如,要證明n=3的情況,使用配對公理三次,來生成對{x1,x2},單元素集合{x3},接著生成對{{x1,x2},{x3}}。使用並集公理生成想要的結果{x1,x2,x3}。我們可以擴展這個模式使之包括n=0,如果我們解釋這個情況為空集公理。
所以,你可以使用它為公理模式來替代空集公理和配對公理。但是人們通常單獨使用空集公理和配對公理,並把它證明為定理模式。注意接受這個模式為公理模式不會替代並集公理,在其他情況下(無限集合的情況)仍需要它。

其他等價公理

另一個公理在空集公理成立的前提下蘊涵配對公理:
對任意集合x和(集合)y,存在集合A使z∈A若且唯若z∈x或z=y。
代{}入x並代a入y,我們得到A為{a}。接著代{a}入x 並代b入y,我們得到A為{a,b}。你可以用這種方式建造任何有限集合。它可以用來生成所有繼承有限集合而不使用並集公理。

相關詞條

相關搜尋

熱門詞條

聯絡我們