輔助角公式

輔助角公式是李善蘭先生提出的一種高等三角函式公式，是數學上的專業術語，隸屬於高等數學知識，使用代數式表達為acosx+bsinx=√(a²+b²)sin(x+arctan(a/b))。

基本信息

• 中文名：輔助角公式

• 中文名稱：輔助角公式
• 外文名：The auxiliary Angle formula
• 別稱：三角函式輔助角公式
• 表達式：asinx+bcosx=√(a²+b²)sin(x+\arctan(b/a))
• 提出者：李善蘭
• 提出時間：19世紀
• 套用學科：數學、物理
• 適用領域範圍：數學、物理學

綜述

輔助角公式

對於acosx+bsinx型函式，我們可以如此變形acosx+bsinx=√(a^2+b^2)(acosx/√(a^2+b^2)+bsinx/√(a^2+b^2))，令點(b,a)為某一角φ終邊上的點，則sinφ=a/√(a^2+b^2),cosφ=b/√(a^2+b^2)

∴acosx+bsinx=√(a^2+b^2)sin(x+arctan(a/b))

這就是輔助角公式。

設要證明的公式為acosA+bsinA=√(a^2+b^2)sin(A+M) (tanM=b/a)

證明

證明過程

設acosA+bsinA=xsin(A+M)

∴acosA+bsinA=x((a/x)cosA+(b/x)sinA)

由題,sinM=a/x,cosM=b/x ,（a/x)^2+(b/x)^2=1

∴x=√(a^2+b^2)

∴acosA+bsinA=√(a^2+b^2)sin(A+M)或acosA+bsinA=√(a^2+b^2)cos(A-M) ,tanM=sinM/cosM=a/b (a,b)由其所在象限確定。

公式套用

例1 求sinθ/(2cosθ+√5)的最大值

設sinθ/(2cosθ+√5)=k 則sinθ-2kcosθ=√5k

∴√[1+(-2k)^2]sin(θ+α)=√5k

平方得k^2=sin^2(θ+α)/[5-4sin^2(θ+α)]

令t=sin^2(θ+α) t∈[0,1]

則k^2=t/(5-4t)=1/(5/t-4)

當t=1時 有kmax=1

輔助角公式可以解決一些sin與cos角之間的轉化

例2化簡5sina-12cosa

5sina-12cosa

=13(5/13sina-12/13cosa)

=13(cosbsina-sinbcosa)

=13sin(a-b)

其中，cosb=5/13,sinb=12/13

例3π/6<=a<=π/4 ,求sin²a+2sinacosa+3cos²a的最小值

令f(a)

=sin²a+2sinacosa+3cos²a

=1+sin2a+2cos²a

1+sin2a+(1+cos2a)(降次公式)

=2+(sin2a+cos2a)

=2+根號2sin(2a+π/4)(輔助角公式)

因為7π/12<=2a+π/4<=3π/4

所以f(a)min=f(3π/4)=2+(根號2)sin(3π/4)=3

特殊公式

利用sin30=(1/2),cos30=（√3/2），sin60=(√3/2），cos60=（1/2），sin45=(√2/2），cos 45=(√2/2）等進行計算。

如 求sinx+cosx的最大值和最小值

sinx+cosx=√2×sin(x+45)

當 x=45 +360k（k為整數）時 sinx+cosx 最大為√2

當 x=225+360k（k為整數）時 sinx+cosx 最小為-√2

函式特徵

f(A)=asinA+bcosA=√a^2+b^2(asinA/√a^2+b^2+bcosA/√a^2+b^2)

=√a^2+b^2(cosMsinA+sinMcosA)

=(√a^2+b^2)sin(A+M)

f(A)max=√a^2+b^2

f(A)min=-√a^2+b^2

其中cosM=b/√a^2+b^2

sinM=a/√a^2+b^2