費爾馬點
費爾馬點——就是到三角形的三個頂點的距離之和最短的點。
對於一個銳角三角形，費爾馬點是對各邊的張角都是120度的點。
對於直角、鈍角三角形，費爾馬點就是最大的內角的頂點。
費爾馬點證明：（這裡只證明銳角三角形，直角、鈍角三角形略）
已知：三角形ABC，PA,PB,PC兩兩形成的角都是120度。
求證：在平面內任意取一個點Q，與P不重合，
則QA+QB+QC>PA+PB+PC
證明：
作EF⊥PA於A,
作DF⊥PA於B,
作DE⊥PA於C,
則△DEF為正三角形。
作QA'⊥EF於A',
作QB'⊥DF於B',
作QC'⊥DE於C',
則QA'+QB'+QC'=PA+PB+PC
註：
設△DEF的邊長為a,
S△DEF=S△PEF+S△PDF+S△PDE
0.5*PA*a + 0.5*PB*a + 0.5*PC*a
= 0.5a * (PA+PB+PC)
而
S△DEF=S△QEF+S△QDF+S△QDE
0.5*QA'*a + 0.5*QB'*a + 0.5*QC'*a
= 0.5a * (QA'+QB'+QC')
∴QA'+QB'+QC'=PA+PB+PC
根據“垂直線段最短”，
∵QA'⊥EF ∴QA'>QA
∵QB'⊥DF ∴QB'>QB
∵QC'⊥DE ∴QC'>QC
∴QA+QB+QC>QA'+QB'+QC'=PA+PB+PC
即：對於任意一點Q（Q與P不重合），都有
QA+QB+QC>PA+PB+PC
也就是說，PA+PB+PC是最短的。
費爾馬介紹
在笛卡兒系統地闡述現代解析幾何基礎的同時，另一位法國數學天才費爾馬(Pierrede Fermat)也注意到這門學科．費爾馬要求承認是他發明解析幾何的理由是：他在1636年9月給羅伯瓦的一封信中說到，他有這個概念已經七年了．在他死後發表的論著《平面和立體的軌跡引論》(isogoge ad locus planos et solidos)中，記載了這項工作的一些細節．在這裡，我們見到了一般直線和圓的方程，以及關於雙曲線、橢圓、拋物線的討論．在一部1637年前完成的、關於切線和求面積的著作中，費爾馬解析地定義了許多新的曲線．笛卡兒只提出了很少幾種由機械運動生成的新曲線，而費爾馬則提出了許多以代數方程定義的新曲線．曲線xmyn=a，yn=axm和rn=aθ，現在還被稱作費爾馬的雙曲線(hyperbolas)、拋物線(parabolas)和螺線(spirals of Fermat)．費爾馬還和別人一起提出了後來被稱作阿涅澤的箕舌線(witch of Agnesi)的三次曲線；這曲線是以阿涅澤(Mati- a Haetana Agnesi，1718—1799)的名字命名的，她是一位多才多藝的婦女，是傑出的數學家、語言學家、哲學家和夜遊病患者．這樣，在很大程度上，笛卡兒從一個軌跡開始然後找它的方程，費爾馬則從方程出後，然後來研究軌跡．這正是解析幾何的基本原則的兩個相反的方面．費爾馬的著作用的是韋達的記號，並且因此，與笛卡兒的較為現代的記號相比，有點象古文．
有一個看來可靠的報告說，費爾馬在1601年8月17日出生於土魯斯附近的博芒特．德．洛馬格內．他在1665年1月12日死於卡斯特爾或土魯斯，這是人們都知道的．他的墓碑，原來在土魯斯的奧古斯丁教堂，後來移到當地的博物館；在墓碑上寫著上述的死的日期和死時的年齡：五十七歲．但是，這與通常標出的費爾馬生卒年(1601？—1665)相牴觸．事實上，不同的作者對費爾馬的出生年有不同的說法(當然都有其理由)：從1590年到1608年，不等．
費爾馬是一個皮革商的兒子，童年是在家裡受的教育．三十歲，他得到土魯斯地方議會辯護士的職位．在那裡，他謙虛謹慎地乾他的工作．他在當卑微的律師時，把自己大量的業餘時間用於數學研究．雖然他一輩子發表的著作不多，但他和同時代的許多第一流數學家有科學上的通信關係，並且以這種方式給他的同行以相當大的影響．他以那么多的重要貢獻豐富了那么多的數學分支，以致曾被稱作十七世紀最偉大的法國數學家．
費爾馬的研究趨向
在費爾馬對數學的多種多樣的貢獻中，最傑出的是對現代數論的奠基．在這個領域中，費爾馬有非凡的直覺和能力．最初吸引費爾馬注意數論的，也許是梅齊利亞克(Bachetde Meziriac)1621年翻譯的丟番圖《算術》(Arithmetica)的拉丁文譯本．費爾馬在此領域的許多貢獻就寫在他的梅齊利亞克譯作手抄本的頁邊上．1670年，在他死後五年，這些筆記由他的兒子薩穆埃爾(Clement—Samuel)編入《算術》新版(印得不大仔細)發表．許多由費爾馬宣布的未被證明的定理，後來已被證明是正確的．現舉例說明費爾馬的研究趨向：
1．如果p是素數，並且a與p互素，則ap-1-1可被p整除．例如，如果p=5，a=2，ap-1-1=15=(5)(3)．此定理被稱作費爾馬小定理(little Fermat theo-rem)，是費爾馬在1640年10月18日給德貝西(Frenicle de Bessy)的信中給出的，未作證明．歐拉於1736年發表了第一個關於費爾馬小定理的證明(參看問題研究10．5)．
2．每一個奇素數可用且僅可用一種方式表為兩個平方數之差．費爾馬對此命題給了一個簡單證明．如果p是一個奇數，則我們容易證明
另一方面，如果p=x2-y2，則p=(x+y)(x-y)．但是，因為p是素數，它只有因數p和1．因此，x+y=p和x-y=1，或x=(p+1)/2和y=(p-1)/2．
3．一個形式為4n+1的素數可以表成兩個平方數之和．例如，5=4+1，13=9+4，17=16+1，29=25+4．此定理是費爾馬在1640年12月25日給梅森的信中最先指出的．歐拉於1754年首先證明了它，並且還證明了這種表達式的唯一性．
4．一個形式為4n+1的素數，作為整數邊直角三角形的斜邊，僅有一次；其平方有兩次；其立方有三次，等等．例如，5=4(1)+1，這時有52=32+42；252=152+202=72+242；1252=752+1002=352+1202=442+1172．
5．每一個非負整數可以表成四個或少於四個平方數的和．這個難證的定理是1770年由拉格朗日證明的．
6．整數邊直角三角形的面積不能是一個平方數．這也是後來由拉格朗日證明的．
7．x2+2=y3隻有一個整數解；x2+4=y3隻有兩個整數解．這是向英國數學家們提出的一個競賽題．第一個方程的解是x=5，y=3；第二個方程的解是x=2，y=2和x=11，y=5．
8．不存在正整數x，y，z，使得x^4+y^4=z2．
9．不存在正整數x，y，z，n，使得xn+yn=zn(當n＞2時)．這個著名的猜想，稱為費爾馬最後“定理”(Fermat’s last“theorem”)．費爾馬把它寫在丟番圖的梅齊利亞克譯本的手抄本第二卷問題8的旁邊，這個問題是：“分一給定的平方數為兩個平方數．”費爾馬的頁邊評註斷定：“分一立方數為兩個立方數，分一個四次冪(或者一般地，任何次冪)為兩個同次冪，這是不可能的：我確實找到了一個巧妙的證明，但是頁邊太窄，寫不下．”費爾馬是否真有此問題的一個完善的證明，也許將永遠是個謎！從那時起，許多卓越的數學家曾在此問題上試驗他的技巧，但是這一般的猜想，至今仍然期待人們去解決．在別處，費爾馬對n=4的情況給出了一個證明：歐拉給出了一個n=3的情況的證明(後來由別人加以完善)．大約1825年，勒讓德和狄利克雷獨立地對於n=5的情況給出了證明；拉梅於1839年對於n=7證明了此定理．德國數學家庫默爾(E．Kummet．1810—1893)對此問題的研究作了有意義的推進．1843年，庫默爾向狄利克雷提交了一個書面說明，後者指出了其推理中的一個錯誤．庫默爾回過來重新研究它，又過了幾年，在稱作理想數理論(The theory of ideals)的高等代數中發展一個與之相聯繫的重要課題，為費爾馬關係式的不可解性導出很一般的條件．現在知道：費爾馬的最後“定理”，對於n＜125，000和許多別的特殊的n值，確實成立．1908年，德國數學家瓦爾夫斯克爾給哥廷根科學院留下十萬馬克，作為這個“定理”的第一個完全證明的獎金．結果，追求名利者提出的證明紛至沓來，並且從那以後，這個問題的業餘愛好者簡直到處都有，就象對於三等分角和化圓為方問題一樣，費爾馬的最後“定理”作為數學問題而享有盛名，原因就在於：對於它，已經發表了許多錯誤證明．
10．費爾馬的猜想：對於所有非負數n，f(n)=22n+1是素數．這個猜想已被證明是錯誤的；歐拉證明了：f(5)是合數．已知：對於5≤n≤16和n的至少四十七個其它值(也許最大的是n=1945)，f(n)是合數．f(5)，f(6)和f(8)的素因子已找到；f(9)的一個素因子已找到．
1879年，在萊頓的圖書館中，在C．惠更斯手稿中間，發現一篇論文，其中，費爾馬講到一種一般方法——他可能曾用它作出他的許多發現．這方法被稱作費爾馬的無限遞降法(method of infinite descent)對於確立否定的結論很有用．這方法，簡單地說，是這樣的：為了證明與正整數相聯繫的某關係式是不可能的，假定：反過來，該關係式被一些正整數的特定集合滿足．從這假定出發，證明：同樣的關係式對另一較小的正整數的集合成立．於是，再用同方法證明：該關係式對於另一個更小的正整數集合成立，等等以至無窮．因為正整數不能無限減小，所以，開始的假定是站不住腳的，因而，原來的關係式不能成立．為了弄清這b是正整數．
我們已經講過，帕斯卡與費爾馬的通訊關係為機率論奠了基．應該記得：它是從所謂得分問題(porblem or the points)開始的：“在兩個被假定有同等技巧的博弈者之間，在一個中斷的博弈中，如何來確定賭金的劃分，已知兩個博弈者在中斷時的得分及在博弈中獲勝所需要的分數．”費爾馬討論了一個博弈者A需要2分獲勝，另一個博弈者B需要3分獲勝的情況．這是費爾馬對於此種特殊情況的解．因為，顯然最多四次就能決定勝負，令a表示A勝，b表示B勝，考慮a和b兩個字母每次取4個的16種排列：
aaaa aaab abba bbab
baaa bbaa abab babb
abaa baba aabb abbb
aaba baab bbba bbbb
a出現等於或多於2次，則A獲勝：有11種情況是這樣的．b出現等於或多於3次，則B獲勝；有5種情況是這樣的．所以，賭金應以11∶5的比例劃分．對於一般情況：A需要m分獲勝，B需要n分獲勝，我們能寫出a、b兩個字母每次取m+n-1個的2m+n-1種排列．然後，我們找a出現等於或多於m次的α種情況，和b出現等於或多於n次的β種情況．所以，賭金應以α∶β的比例劃分．
帕斯卡利用其“算術三角形”解得分問題，在9．9節中講過．令C(n，r)表示從n件中每次取r件的組合數[參看問題研究9．13(g)]，我們能容易地證明：“算術三角形”的第五條對角線上的數分別為：
C(4，4)=1，C(4，3)=4，C(4，2)=6，C(4，1)=4，C(4，0)=1．
因為，回到上面講的特殊的得分問題，C(4，4)是得4個a的方式數，C(4，3)是得3個a的方式數，等等；由此得出：此問題的解為：
[C(4，4)+C(4，3)+C(4，2)]∶[C(4，1)+C(4，0)]=(1+4+6)∶(4+1)
=11∶5
對於一般情況，A需要m分獲勝，B需要n分獲勝，我們選擇帕斯卡算術陣的第(m+n)條對角線．然後，我們求此對角線的前n個數的和α和此對角線的最後m個數的和β．於是，賭金應依α∶β的比例劃分．
帕斯卡和費爾馬在他們1654年的有歷史意義的通信中考慮到有關得分問題的其它問題，例如，當博弈者超過兩個時，或兩個博弈者的技巧參差不齊時，賭金該如何劃分．帕斯卡和費爾馬的這個工作開數學機率論之先河．惠更斯(Christiaan Huygens，1629—1695)寫關於機率論的第一篇正式論文，就是以帕斯卡—費爾馬的通信為基礎的．雅科布．伯努利(Jakob Bernoulli，1654—1705)的《猜測術》(Ars conjectandi)在他死後1713年才出版；這部書是這門學科的最優講述，它包括惠更斯的較早的論文．繼這些先行者之後，促進此學科發展的有：棣莫費爾(De Moivre，1667—1754)，丹尼爾．伯努利(Daniel Bemoul-li，1700—1782)，歐拉(1707—1783)，拉格朗日(1736—1813)，拉普拉斯(1749—1827)，和一大批其他數學家．
引人入勝並且有些令人驚異的是：數學家們居然有能力發展這樣一門學科(即數學機率論)，它證明的理性的定律能被套用於純屬機遇的場合．這門學科遠不是不實際的：通過大試驗室中進行的實驗，通過與機率有密切關係的保險公司的存在，並通過大商業和戰爭的推理計算，表明了這一點．
費爾馬還將無窮小用於幾何(尤其是他在極大值、極小值方面的工作)；就憑這一點，他成了微積分的一位重要的先驅．
