簡介
複平面的橫軸上的點對應所有實數，故稱實軸，縱軸上的點（原點除外）對應所有純虛數，故稱虛軸.在複平面上，複數還與從原點指向點z=x+iy的平面向量一一對應，因此複數z也能用向量Z來表示（如右圖）。向量的長度稱為Z的模或絕對值，記作|z|=r=√（x^2+y^2） 。除未塞爾（1745-1817），阿工（1768-1822）的工作外，科茲（1707-1783）棣美弗（1667-1754），歐拉（1707-1783），范德蒙（1735-1796），也曾認識到平面上的點可與複數一一對應，這一點從他們把二項方程的根看作一個正多邊形的頂點一事獲得證實.但是，在這方面高斯的貢獻是十分重要的，他的著名代數學基本定理是在假設坐標平面上的點與複數可以一一對應的前提下推出的.
1831年，高斯在《哥庭根學報》上詳細說明了複數a+bi表示成平面上的一個點（a,b).從而明確了複平面的概念，他又將表示平麵點的直角坐標與極坐標加以綜合，統一於表示同一複數的二種表示形式——複數的代數形式及三角形式之中.高斯還給出了「複數」這個名稱，由於高斯的卓越貢獻，後人常稱複數平面為高斯平面.
複平面特點
建立了直角坐標系來表示複數的平面叫做複平面，x軸叫做實軸，y軸除去原點的部分叫做虛軸，原點表示實數0，原點不在虛軸上。複平面內的每一個點，有唯一的一個複數和它對應，反過來，每一個複數，有複平面內唯一的一個點和它對應，所以複數集C和複平面內所有的點所成的集合是一一對應的．複數的幾何表示
1三角表示式：在z≠0的情況下，以正實軸為始邊，以表示z的向量Z為終邊的角的弧度數θ稱為z的輻角，記作Argz=θ。這時有：tg(Argz)=y/x.任意一個複數z≠0有無窮多個輻角。如果θ1是其中的一個，那么，Argz=θ1+2kπ（k為任意整數），就給出了z的全部輻角。在（z≠0）的輻角中，我們把滿足-π<；θo<；π的θo稱為Argz的主值，θo=argz.當z=0時，|z|=0，而輻角不確定。
利用直角坐標與極坐標的關係：x=rcosθ，y=rsinθ，把z表示成z=r(cosθ+isinθ），稱為複數的三角表示式。2指數表示式：利用歐拉（Euler）公式e^iθ=cosθ+isinθ：，可以得到z=re^iθ，稱為複數的指數表達式。數學史17世紀時，英國數學家瓦里士已經意識到在直線上不能找到虛數的幾何表示。1797年，挪威的測量學家維塞爾向丹麥科學院遞交論文《方向的解析表示，特別套用於平面與球面多邊形的測定》，首先提出把複數用坐標平面上的點來表示，使全體複數與平面上的點建立了一一對應關係，形成了複平面概念。但當時沒有受到人們的重視。1806年，日內瓦的阿工在巴黎發表的論文《虛量，它的幾何解釋》，也談到了複數的幾何表示法。他用“模”這個名詞來表示向量的長度，模這術語就源出於此。偉大的德國數學家高斯是近代數學的奠基人之一，在歷史上影響之大，可以和阿基米德、牛頓、歐拉並列。他在1799年已經知道複數的幾何表示，在1799年、1815年、1816年對代數基本定理作出的三個證明中，都假定了複數和直角坐標平面上的點一
一對應，但直到1831年他才對複平面作出詳細的說明。他說：“迄至目前為止，人們對於虛數的考慮，依然在很大的程度上把虛數歸結為一個有毛病的概念，以致給虛數蒙上一層朦朧而神奇色彩。我認為只要不把+1、-1、i叫做正一、負一和虛一，而稱之曰向前一，反向一和側向一，那么這層朦朧而神奇的色彩即可消失。”此後，人們才接受了複平面的思想，有些人還把複平面稱為高斯平面。
利用複數的幾何表示法，複數又可以用坐標平面上的向量來表示，兩個複數相加可以按照向量加法的平行四邊形法則來進行，一個複數乘以i（或-i）相當於表示此複數的向量逆（或順）時針鏇轉90。這就使得物理上的許多向量：力、速度、加速度等等，都可以藉助於複數來進行計算，使複數成為物理學和其他自然科學的重要工具。
