代數基本定理

代數基本定理

(代數學基本定理)任何復係數一元n次多項式方程在複數域上至少有一根(n≥1),由此推出,n次復係數多項式方程在複數域內有且只有n個根(重根按重數計算).代數基本定理在代數乃至整個數學中起著基礎作用。 據說,關於代數學基本定理的證明,現有200多種證法。 美國數學家John Willard Milnor在數學名著《從微分觀點看拓撲》一書中給了一個幾何直觀的證明,但是其中用到了和臨界點測度有關的sard定理。的一個根,這個論證具有高度的創造性,但從現代的標準看依然是不嚴格的,因為他依靠了曲線的圖形,證明它們必然相交,而這些圖形是比較複雜,正中隱含了很多需要驗證的拓撲結論等等。

簡介

由此推出,n次復係數多項式方程在複數域內有且只有n個根(重根按重數計算)。代數學基本定理說明,任何復係數一元 n次多項式方程在複數域上至少有一根(n≥1)。

有時這個定理表述為:任何一個非零的一元n次復係數多項式,都正好有n個複數根。這似乎是一個更強的命題,但實際上是“至少有一個根”的直接結果,因為不斷把多項式除以它的線性因子,即可從有一個根推出有n個根。

儘管這個定理被命名為“代數基本定理”,但它還沒有純粹的代數證明,許多數學家都相信這種證明不存在 。另外,它也不是最基本的代數定理;因為在那個時候,代數基本上就是關於解實係數或復係數多項式方程,所以才被命名為代數基本定理。

證明歷史

代數基本定理在代數乃至整個數學中起著基礎作用。 據說,關於代數學基本定理的證明,現有200多種證法。 迄今為止,該定理尚無純代數方法的證明。大數學家 J.P. 塞爾 曾經指出:代數基本定理的所有證明本質上都是拓撲的。 美國數學家John Willard Milnor在數學名著《從微分觀點看拓撲》一書中給了一個幾何直觀的證明,但是其中用到了和臨界點測度有關的sard定理。 複變函數論中,對代數基本定理的證明是相當優美的,其中用到了很多經典的複變函數的理論結果。

該定理的第一個證明是法國數學家達朗貝爾給出的,但證明不完整。接著,歐拉也給出了一個證明,但也有缺陷,拉格朗日於1772年又重新證明了該定理,後經高斯分析,證明仍然很不嚴格的。

代數基本定理的第一個嚴格證明通常認為是高斯給出的(1799年在哥廷根大學的博士論文),基本思想如下:

代數基本定理代數基本定理

為n次實係數多項式,記

,考慮方根:

代數基本定理代數基本定理
代數基本定理代數基本定理

代數基本定理代數基本定理

這裡

分別表示oxy坐標平面上的兩條曲線C1、C2,於是通過對曲線作定性的研究,他證明了這兩條曲線必有一個交點

,從而得出

,即

,因此z0便是方程

的一個根,這個論證具有高度的創造性,但從現代的標準看依然是不嚴格的,因為他依靠了曲線的圖形,證明它們必然相交,而這些圖形是比較複雜,正中隱含了很多需要驗證的拓撲結論等等。

高斯後來又給出了另外三個證法,其中第四個證法是他71歲公布的,並且在這個證明中他允許多項式的係數是複數。

證明方法

所有的證明都包含了一些數學分析,至少是實數或複數函式的連續性概念。有些證明也用到了可微函式,甚至是解析函式。

定理的某些證明僅僅證明了任何實係數多項式都有複數根。這足以推出定理的一般形式,這是因為,給定復係數多項式p(z),以下的多項式

代數基本定理代數基本定理

就是一個實係數多項式,如果z是q(z)的根,那么z或它的共軛複數就是p(z)的根。

代數基本定理代數基本定理

許多非代數證明都用到了“增長引理”:當|z|足夠大時,首係數為1的n次多項式函式p(z)的表現如同z。一個更確切的表述是:存在某個正實數R,使得當|z| > R時,就有:

複分析證明

證明一

尋找一個中心為原點,半徑為r的閉圓盤D,使得當|z| ≥ r時,就有|p(z)| > |p(0)|。因此,|p(z)|在D內的最小值(一定存在,因為D是緊緻的),是在D的內部的某個點z0取得,但不能在邊界上取得。於是,根據最小模原理,p(z0) = 0。也就是說,z0是p(z)的一個零點(根)。

證明二

由於在D之外,有|p(z)| > |p(0)|,因此在整個複平面上,|p(z)|的最小值在z0取得。如果|p(z0)| > 0,那么1/p在整個複平面上是有界的全純函式,這是因為對於每一個複數z,都有|1/p(z)| ≤ |1/p(z0)|。利用劉維爾定理(有界的整函式一定是常數),可知1/p是常數,因此p是常數。於是得出矛盾,所以p(z0) = 0。

證明三

代數基本定理代數基本定理

這個證明用到了輻角原理。設R為足夠大的正實數,使得p(z)的每一個根的絕對值都小於R;這個數一定存在,因為n次多項式函式最多有n個根。對於每一個r > R,考慮以下的數:

其中c(r)是中心為0,半徑為r的逆時針方向的圓;於是輻角原理表明,這個數是p(z)在中心為0、半徑為r的開圓盤內的零點的數目N,由於r > R,所以它也是p(z)的零點的總數目。另一方面,n/z沿著c(r)的積分除以2πi,等於n。但這兩個數的差為:

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被積分的有理表達式中的分子,次數最多是n 1,而分母的次數是n + 1。因此,當r趨於+∞時,以上的數趨於0。但這個數也等於N n,因此有N = n。

證明四

這個證明結合了線性代數和柯西積分定理。為了證明每一個n > 0次復係數多項式都有一個根,只需證明每一個方塊矩陣都有一個複數特徵值。證明用到了反證法。

設A為大小n > 0的方塊矩陣,並設In為相同大小的單位矩陣。假設A沒有特徵值。考慮預解函式

代數基本定理代數基本定理

它在複平面上是亞純函式,它的值位於矩陣的向量空間內。A的特徵值正好是R(z)的極點。根據假設,A沒有特徵值,因此函式R(z)是整函式,根據柯西積分定理可知:

代數基本定理代數基本定理

另一方面,把R(z)展開為幾何級數,可得:

代數基本定理代數基本定理

這個公式在半徑為||A||的閉圓盤的外部(A的運算元範數)成立。設r > ||A||。那么:

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(僅當k = 0時,積分才不等於零)。於是得出矛盾,因此A一定有一個特徵值。

拓撲學證明

代數基本定理代數基本定理

設z0 ∈ C為使|p(z)|在z0取得最小值的數; 從用到劉維爾定理的證明中,可以看到這樣一個數一定存在。我們可以把p(z)寫成z z0的多項式:存在某個自然數k和一些複數

,使得

,以及:

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代數基本定理代數基本定理

可推出如果a是

的一個k重根,且t是足夠小的正數,那么|p(z0 + ta)| < |p(z0)|,這是不可能的,因為|p(z0)|是|p|在D內的最小值。

代數基本定理代數基本定理

對於另外一個用到反證法的拓撲學證明,假設p(z)沒有根。選擇一個足夠大的正數R,使得對於|z| = R,p(z)的第一項z大於所有其它的項的和;也就是說,|z| > |an 1z + ··· + a0|。當z依逆時針方向繞過方程為|z| = R的圓一次時,p(z),像z那樣,依逆時針方向繞過零n次。在另外一個極端,|z| = 0時,“曲線” p(z)僅僅是一個(非零的)點p(0),它的卷繞數顯然是0。如果z所經過的迴路在這兩個極端中被連續變形,那么p(z)的路徑也連續變形。我們可以把這個變形記為

,其中t大於或等於0,而小於或等於1。如果我們把變數t視為時間,那么在時間為零時,曲線為p(z),時間為1時,曲線為p(0)。顯然在每一個點t,根據原先的假設p(z)都不能是零,因此在變形的過程中,曲線一直都沒有經過零。因此曲線關於0的繞數應該不變。然而,由於繞數在一開始是n,結束時是0,因此得出矛盾。所以,p(z)至少有一個根。

代數證明

代數基本定理代數基本定理

這個證明需要依賴實數集的如下事實:正實數R在

上有實平方根,以及任何奇次多項式在

上有一個根(這可以用介值定理證明)。

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首先

。經過簡單的計算可以證明

在開平方運算下是封閉的(利用事實1)。結合

。得出

不存在二階擴張。

代數基本定理代數基本定理

由於

,於是任何

的擴張都是可分的,從而任何

的代數擴張都可以被包含在一個伽羅瓦擴張內。假設

是一個伽羅瓦擴張。考慮伽羅瓦群

的西羅2-子群H。那么

是奇數。由本原元定理得出,K存在本原元

,它的極小多項式是奇次的。但是利用實數集的事實2,任何奇次數多項式在實數上有一個根,於是不存在奇次的且次數>1的不可約多項式。於是

是2的冪次。

代數基本定理代數基本定理

假設

並且r>0,再次利用西羅定理,G存在一個階為2的子群N。這時

。這和

先前不存在二階擴張矛盾。因此

的任何代數擴張都是本身,代數基本定理得證。

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