聯合逼近

聯合逼近

正文

一般是指兩個方面的逼近，其一是同時逼近函式及函式的導數，其二是用一個函式同時逼近幾個函式或者一列函式。
同時逼近函式及其導數是指用一個函式逼近另一給定函式的同時，也要求其導數實現對所給函式之導數的逼近。這樣的逼近是可能的。假設函式ƒ(x)是周期為2π的連續函式，如果它有r階連續導數，則有不超過n階的三角多項式tn(x)使得

，

這裡,сr是僅與r有關的正數，E奱(ƒ)表示不超過n階的三角多項式對ƒ的最佳逼近值。假設ƒ(x)是【-1,1】上有r階連續導數的函式，則有n次代數多項式Pn(x)使得

式中,En(ƒ)表示不超過n次的代數多項式對ƒ的最佳逼近值。
用一個函式同時逼近 n個或一列函式，有種種提法。對於【-1,1】上的可測函式ƒ(x)，記使得

的函式 ƒ的全體為lp。設有一列函式和一列非負實數，S為lp的一個給定的子集，如果

而且有s*∈S使得
①
③
④

等4個關係式中任一式被滿足，則稱 s*為相應意義下的，在S中對 ƒ的最佳聯合逼近元。這種S常取lp的某一有限維線性子空間，特別常取S為次數不超過n的代數多項式的全體，或給定階數的有理函式集。在一定條件下，可以建立聯合最佳逼近元的存在性、特徵以及逼近度的估計，它與通常的切比雪夫理論有相仿之處。

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