定理
如果函式f(x)滿足下面的條件：（1）在閉區間【a,b】上連續；
（2）在開區間(a,b)內可導；
（3）在區間端點處的函式值相等，即f(a)=f(b)，
那么在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0.
證明
根據閉區間連續函式的性質，函式f(x)在區別[a,b]上必有最大值M和最小值m，即存在x1,x2∈[a,b]，使得f(x1)=M,f(x2)=m需分成兩種情況來討論：（1）M=m（2）M≠m
（1）當M=m，函式f(x)在區間[a,b]為常數M，於是其導數在區間(a,b)內為0，因此任一f'(ξ)=0;
（2）當M≠m，有條件f(a)=f(b)可知，函式f(x)的最大值或最小值至少有一個在區間(a,b)記憶體在，不妨假設存在最大值。即x1∈(a,b)，使得f(x1)=M，根據條件f'(x1)一定存在，並通過證明可知f'(x1)=0。
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| f'(x1)的三種表示 |
後面的兩個極限不等式表明了f'(x1)只能等於0，因此f'(ξ)=f'(x1)=0。
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| f'(x1)的兩個不等式 |
證明完畢■
羅爾定理的幾何解釋
羅爾定理的條件表示，曲線弧是一條連續的曲線弧，除端點外處處有不垂直於軸的切線，且兩端點的縱坐標相等。而定理結論表明，
弧上至少有一點，曲線在該點切線是水平的.
