阿羅不可能性定理概述
阿羅不可能定理是由1972年諾貝爾經濟學獎的獲得者之一阿羅首先陳述和證明的。
1951年肯尼斯·約瑟夫·阿羅（Kenneth J．Arrow)在他的現在已經成為經濟學經典著作的《社會選擇與個人價值》一書中，採用數學的公理化方法對通行的投票選舉方式能否保證產生出合乎大多數人意願的領導者或者說“將每個個體表達的先後次序綜合成整個群體的偏好次序”進行了研究。結果，他得出了一個驚人的結論：絕大多數情況下是——不可能的！更準確的表達則是：當至少有三名候選人和兩位選民時，不存在滿足阿羅公理的選舉規則。或者也可以說是：隨著候選人和選民的增加，“程式民主”必將越來越遠離“實質民主”。從而給出了證明一個不可思議的定理：假如有一個非常民主的群體，或者說是一個希望在民主基礎上作出自己的所有決策的社會，對它來說，群體中每一個成員的要求都是同等重要的。一般地，對於最應該做的事情，群體的每一個成員都有自己的偏好。為了決策，就要建立一個公正而一致的程式，能把個體的偏好結合起來，達成某種共識。這就要進一步假設群體中的每一個成員都能夠按自己的偏好對所需要的各種選擇進行排序，對所有這些排序的匯聚就是群體的排序了。
發展
阿羅不可能定理的證明並不難，但是需要嚴格的數學邏輯思維。關於這個定理還有一段情節頗為曲折的故事。
阿羅在大學期間就迷上了數學邏輯：讀四年級的時候， 波蘭大邏輯學家塔斯基(Tarski) 到阿羅所在的大學講了一年的關係演算， 阿羅在他那裡接觸到諸如傳遞性、排序等概念 在此之前． 阿羅對他所著迷的邏輯學還是全靠自學呢。
後來， 阿羅考上研究生．在哈羅德·霍特林（Harold Hotelling)的指導下攻讀數理經濟學 他發現，邏輯學在經濟學中大有用武之地 就拿消費者的最優決策來說吧， 消費者從許多商品組合中選出其最偏好的組台、這正好與邏輯學上的排序概念吻台。又如廠商理論總是假設廠商追求利潤最大化， 當考慮時間因素時， 因為將來的價格是未知的 廠商只能力圖使基於期望價格的期望利潤最大化。知道、現代經濟中的企業一般是由許多股東所共同擁有100個股東對將來的價格可能有100種不同的期望，相應地根據期望利潤進行諸如投資之類的決策時便有100種方案。那末， 問題如何解決呢，一個自然的辦法是由股東(按其占有股份多少)進行投票表決， 得票最多的方案獲勝 這又是一個排序問題阿羅所受的邏輯訓練使他自然而然地對這種關係的傳遞性進行考察 結果輕而易舉地舉出了一個反例。
阿羅第一次對社會選擇問題的嚴肅思考就這樣成為他學習標準廠商理論的一個副產品不滿足傳遞性的反例激起了阿羅的極大興趣，但同時也成為他進一步研究的障礙 因為他覺得這個悖論素未謀面但又似曾相識。事實上這的確是一個十分古老的悖論， 是由法國政治哲學家、機率理論家貢多賽在1785年提出的 但是阿羅那時對貢多賽和其他原始材料一無所知， 於是暫時放棄了進一步的研究。這是1947年。
次年， 在芝加哥考爾斯(Cowles)經濟研究委員會， 阿羅出於某種原因對選擇政治學發生了濃厚的興趣： 他發現在某些條件下，“少數服從多數”的確可以成為一個合理的投票規則。但是一個月後， 他在《政治經濟學雜誌》里發現布萊克(Black)的一篇文章已捷足先登， 這篇文章表達了同樣的思想看來只好再一次半途而廢了。阿羅沒有繼續研究下去其實還有另一層的原因，就是他一直以 嚴肅的 經濟學研究為己任， 特別是致力於運用一般均衡理論來建立一個切實可行的模型作為經濟計量分析的基礎 他認為在除此以外的“旁門左遭’中深究下去會分散他的精力。
1949年夏天， 阿羅擔任蘭德公司(Rand)的顧問。這個為給美國空軍提供諮詢而建立起來的公司那時的研究範圍十分廣泛，包括當時尚屬鮮為人知的對策論。職員中有個名叫赫爾墨([[]Helmer]]) 的哲學家試圖將對策論套用於國家關係的研究， 但是有個問題令他感到十分棘手： 當將局中人詮釋為國家時，儘管個人的偏好是足夠清楚的， 但是由個人組成的集體的偏好是如何定義的呢?阿羅告訴他， 經濟學家已經考慮過這個問題， 並且一個恰當的形式化描述已經由伯格森(Bergson)在1938年給出。伯格森用一個叫做社會福利函式的映射來描述將個人偏好匯集成為社會偏好的問題， 它將諸個人的效用組成的向量轉化為一個社會效用 雖然伯格森的敘述是基於基數效用概念的， 但是阿羅告訴赫爾墨， 不難用序數效用概念加以重新表述。於是赫爾墨順水推舟， 請阿羅為他寫一個詳細的說明當阿羅依囑著手去做時， 他立即意識到這個問題跟兩年來一直困擾著他的問題實際上是一樣的。既然已經知道“少數服從多數“一般來說不能將個人的偏好匯集成社會的偏好， 阿羅猜測也許會有其他方法。幾天的試探碰壁之後， 阿羅懷疑這個問題會有一個不可能性的結果。果然， 他很快就發現了這樣一個結果； 幾個星期以後， 他又對這個結果作進一步加強。
從1947年萌發胚芽到t950年開花結果，阿羅不可能定理的問世可謂一波三折， 千呼萬喚始出來， 而且頗有點 無心插柳的意味。但是，正是在這無心背後的對科學鍥而不捨的追求，才使邏輯學在社會科學這塊他鄉異壤開出一朵千古留芳的奇葩 這不能不說是耐人尋味的。
內容
阿羅的不可能定理源自孔多塞的“投票悖論”，早在十八世紀法國思想家孔多賽就提出了著名的“投票悖論”：假設甲乙丙三人，面對ABC三個備選方案，有如圖的偏好排序。
甲（a ＞ b ＞ c）
乙（b ＞ c ＞ a）
丙（c ＞ a ＞ b）
註：甲（a ＞ b ＞ c）代表——甲偏好a勝於b，又偏好b勝於c。
1.若取“a”、“b”對決，那么按照偏好次序排列如下：
甲（a ＞ b ）
乙（b ＞ a ）
丙（a ＞ b ）
社會次序偏好為（a ＞ b ）
2.若取“b”、“c”對決，那么按照偏好次序排列如下：
甲（b ＞ c ）
乙（b ＞ c ）
丙（c ＞ b ）
社會次序偏好為（b ＞ c ）
3.若取“a”、“c”對決，那么按照偏好次序排列如下：
甲（a ＞ c ）
乙（c ＞ a ）
丙（c ＞ a ）
社會次序偏好為（c ＞ a ）
於是得到三個社會偏好次序——（a ＞ b ）、（b ＞ c ）、（c ＞ a ），其投票結果顯示“社會偏好”有如下事實：社會偏好a勝於b、偏好b勝於c、偏好c勝於a。顯而易見，這種所謂的“社會偏好次序”包含有內在的矛盾，即社會偏好a勝於c,而又認為a不如c！所以按照投票的大多數規則，不能得出合理的社會偏好次序。
阿羅不可能定理說明，依靠簡單多數的投票原則，要在各種個人偏好中選擇出一個共同一致的順序，是不可能的。這樣，一個合理的公共產品決定只能來自於一個可以勝任的公共權利機關，要想藉助於投票過程來達到協調一致的集體選擇結果，一般是不可能的。
操作實務
多數原則是現代社會廣泛接受的決策方法。洛克認為“根據自然和理性的法則，大多數具有全體的權力，因而大多數的行為被認為是全體的行為，也當然有決定權了”。但很多在自然法學家那裡是想當然正確的東西在社會選擇理論中是需要證明的。所謂社會選擇，在數學上表達為一個建立在所有個人的偏好上的函式（或對應），該函式的性質代表了一定的價值規範，比如公民主權、全體性、匿名性、目標中性，帕累托最優性，無獨裁性等。社會選擇最重要的問題是，這些價值規範之間是否是邏輯上協調的。阿羅證明，不存在同時滿足如下四個基本公理的社會選擇函式：①個人偏好的無限制性，即對一個社會可能存在的所有狀態，任何邏輯上可能的個人偏好都不應當先驗地被排除；
②帕累托原則，即一個方案對所有人是最優的意味著相對於社會偏好序也是最優的；
③非相關目標獨立性，即關於一對社會目標的社會偏好序不受其它目標偏好序變化的影響；
④社會偏好的非獨裁性。
