公式定義
實數域上的狄利克雷(Dirichlet)函式表示為:（k，j為整數）
狄利克雷函式也可以簡單地表示分段函式的形式D(x) = 0 (x是無理數) 或1 (x是有理數)
性質分析
基本性質
1、定義域為整個實數域 R
2、值域為 {0, 1}
3、函式為偶函式
4、無法畫出函式圖像,但是它的函式圖像客觀存在
5、以任意正有理數為其周期，無最小正周期（由實數的連續統理論可知其無最小正周期）
分析性質
1、處處不連續
2、處處不可導
3、在任何區間內黎曼不可積
4、函式是可測函式
5、在單位區間 [0,1] 上勒貝格可積，且勒貝格積分值為 0（且任意區間以及R上甚至任何R的可測子集上（區間不論開閉和是否有限）上的勒貝格積分值為0 ）
對性質5的說明：雖然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可積條件（說明中Q為有理數集）。
函式周期
狄里克雷函式是周期函式，但是卻沒有最小正周期，它的周期是任意非零有理數（周期不能為0），而非無理數。因為不存在最小正有理數，所以狄里克萊函式不存在最小正周期。
創始人介紹
狄里克雷（1805～1859）Dirichlet，Peter Gustav Lejeune德國數學家。對數論、數學分析和數學物理有突出貢獻，是解析數論的創始人之一。1805年2月13日生於迪倫，1859年5月5日卒于格丁根。中學時曾受教於物理學家G.S.歐姆；1822～1826年在巴黎求學，深受J.-B.-J.傅立葉的影響 。回國後先後在布雷斯勞大學、柏林軍事學院和柏林大學任教27年，對德國數學發展產生巨大影響。1839年任柏林大學教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大學的教授職位。
在分析學方面，他是最早倡導嚴格化方法的數學家之一。1837年他提出函式是x與y之間的一種對應關係的現代觀點。
在數論方面，他是高斯思想的傳播者和拓廣者。1833年狄里克萊撰寫了《數論講義》，對高斯劃時代的著作《算術研究》作了明晰的解釋並有創見，使高斯的思想得以廣泛傳播。1837年，他構造了狄里克雷級數。1838～1839年，他得到確定二次型類數的公式。1846年，使用抽屜原理。闡明代數數域中單位數的阿貝爾群的結構。
在數學物理方面，他對橢球體產生的引力、球在不可壓縮流體中的運動、由太陽系穩定性導出的一般穩定性等課題都有重要論著。1850年發表了有關位勢理論的文章，論及著名的第一邊界值問題，現稱狄里克雷問題。
狄利克雷函式