狄利克雷級數

狄利克雷級數又稱指數級數，即形如 (1)的級數,簡記為，式中αn是復常數；；s=σ+it；σ及t是實變數。若(1)收斂，則記其和為ƒ(s)。當λn=n時,級數是e-s的冪級數,其性質可由冪級數的性質推出，由此啟示人們研究一般指數級數的性質。狄利克雷級數在解析數論中有重要的地位。黎曼ζ函式和狄利克雷L函式都可以用狄利克雷級數來定義。有猜測所有的狄利克雷級數組成塞爾伯格類函式都滿足廣義黎曼猜想。

狄利克雷級數

正文

又稱指數級數，即形如

(1)

的級數,簡記為，式中 αn是復常數；；s=σ+it；σ及t是實變數。若(1)收斂，則記其和為ƒ(s)。當λn=n時,級數(1)是e-s的冪級數,其性質可由冪級數的性質推出，由此啟示人們研究一般指數級數的性質。當λn=lnn時,級數(1)成為這是P.G.L.狄利克雷在解析數論中引用的重要級數;在αn=1的最簡單的情形，它稱為黎曼 ζ函式。此外,把狄利克雷級數推廣到積分的情形就是拉普拉斯變換，因此兩者有很多類似之處。
收斂性　對一般指數級數有阿貝爾型的定理：設級數(1)在一點s0收斂，則它在任何角域│arg(s-s0)│≤у(<π/2)中一致收斂。這樣，如級數(1)在一點收斂(絕對收斂)，則它在任何點s=σ+it(σ>σ0)收斂(絕對收斂)。於是級數(1)屬於下列三種情況之一：①存在著有限數 σ0(σα),級數在半平面σ>σ0(σ>σα)內收斂(絕對收斂),在半平面σ<σ0(σ<σα)內發散(不絕對收斂)。這時σ0(σα)稱為級數 (1)的收斂橫坐標(絕對收斂橫坐標),σ>σ0(σ>σα)稱為收斂半平面（絕對收斂半平面）,σ=σ0(σ=σα)稱為收斂軸（絕對收斂軸）。②對任何 s=σ+it,級數發散（不絕對收斂）,這時稱級數(1)的收斂（或絕對收斂）橫坐標為+。③對任何s=σ+it,級數收斂（絕對收斂）,這時稱級數(1)的收斂（絕對收斂）橫坐標為－。
對級數 (1)還可引進一致收斂橫坐標的概念。級數(1)的一致收斂橫坐標是

。

這幾個收斂橫坐標有如下關係：。當λn=n時，，但這在一般情形下不成立，例如對於

對於級數(1)的各種收斂坐標,有柯西－阿達馬公式的推廣，如，設

且令

如,則令。於是
關於收斂橫坐標還有一個簡單的不等式：

解析性　根據阿貝爾型定理以及外爾斯特拉斯定理，在上述情況①下,ƒ(s)在σ>σ0內解析;在情況③下,ƒ(s)為一整函式。可是反之,並非任何整函式或在半平面σ>α內的解析函式都可表示為指數級數。Α.Ф.列昂季耶夫不限於考慮｛λn｝是正數序列的級數(1)。他證明了:任何整函式可寫成三個式 (1)型級數的和，而在每一級數中，｛λn｝在從原點出發的一條射線上。對於無窮或有界凸區域內解析的函式，也有類似結果。
係數的表示和估計　如σα<+，那么對於σ1>σα， 式中t0是任一實數。由此可得柯西不等式的推廣：

(2)

這裡

(2)有種種推廣，特別是對漸近指數級數的推廣，可用來解決一些分析中的重要問題，如加權逼近問題、矩量問題的惟一性以及準解析函式問題等。
關於冪級數的奇異點、增長性、值的分布以及求和法等方面許多結果，都可推廣到指數級數。
參考書目
　S. Mandelbrojt,Séries de Dirichlet, Gauthier-Villars,Paris, 1969.
　S.Mandelbrojt,Séries Adhérentes etc.,Gauthier-Villars,Paris, 1952.

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