數系
正文
通常指包括自然數（正整數）、整數、有理數、實數和複數的系統。這些數之間的關係如下表：
自然數 建立自然數概念通常有基於基數與基於序數兩種方法。
基於基數的自然數概念可溯源於原始人類用匹配方法計數。古希臘人用小石卵記畜群的頭數或部落的人數。事實上,英文calculate(計算)一詞是從希臘文calculus（石卵）演變來的。中國古籍《易·繫辭》中說，上古結繩而治，後世聖人易之以書契，這些都是匹配計數法的反映。
如果兩個集合之間能建立一個一一對應，就說這兩個集合是對等的。稱對等的集合具有相同的基數。如果一個集合不可能對等於它的任何真子集，則稱為有限集。非空有限集的基數，就是自然數。由此能通過集合的並、積運算定義自然數的加法與乘法（見算術）。
基數理論依據的是一一對應原則。另一方面，為了計數，必須有某種數制，即建立一個依次排列的標準集合。隨後對某一有限集合計數，就是將該集合中每個元素順次與標準集合中的項對應；所對應的最後的項，就標誌著給定集合元素的個數。這種想法導致自然數的序數理論，它是G.皮亞諾於1889年建立的。
皮亞諾從不加定義的“集合”、“含有”、“自然數”與“後繼”等詞出發，規定自然數集滿足下列五條公理：
① 1是自然數。
② 1不是任何其他自然數的後繼。
③ 每個自然數都有一個後繼（記α的後繼為α┡）。
④ α┡=b)┡蘊涵α=b)。
⑤ 設S是自然數的一個集合。如果S含有1,且S含有α蘊涵S含有α┡，則S含有任何自然數。
最後這條公理就是熟知的數學歸納法公理。
一切自然數的集記為{1,2,3,…, n,…}，簡記為N。
從上述公理出發，可以證明，對任何自然數α,b,存在惟一的自然數α+b，滿足α+1=α┡,α+b┡=(α+b)┡。α+b)稱為α與b的和，相應的運算稱為加法。加法滿足交換律與結合律。類似地，對任何自然數α，b，存在惟一的自然數α·b,滿足α·1=α,α·b┡=α·b+α。α·b（記α·b為αb)稱為α與b的積，相應的運算稱為乘法。乘法也滿足交換律與結合律，加法與乘法滿足分配律。
對自然數集可用下述方法定義一個全序。設α，b是自然數，如果存在自然數с，使得α=b+с,則稱α>b或b<α。
整數 在自然數集N 之外，再引入新的元素0，-1,-2，-3，…，-n，…。稱N 中的元素為正整數,稱0為零，稱-1，-2，-3，…，-n，…為負整數。正整數、零與負整數構成整數系。
零不僅表示“無”，它在命數法中還具有特殊的意義：表示空位的符號。中國古代用算籌計數並進行運算，空位不放算籌,雖無空位記號,但仍能為位值記數與四則運算創造良好的條件。印度-阿拉伯命數法中的零(ZERO)來自印度的零(sunya)字,其原意也是“空”或“空白”。
中國最早引進了負數。《九章算術·方程》中論述的“正負術”，就是整數的加減法。減法的需要也促進了負整數的引入。減法運算可看作求解方程α+x=b),如果α，b)是自然數，則所給方程未必有自然數解。為了使它恆有解，就有必要把自然數系擴大為整數系。
關於整數系的嚴格理論,可用下述方式建立。在N×N（即自然數有序對的集）上定義如下的等價關係～:對於自然數有序對(α1,b1)，(α2,b2)，如果
，就說(α1,b)1)～(α2,b)2),N ×N 關於上述等價關係的等價類，稱為整數。一切整數的集記為Z。 設p,q∈Z,(α,b)∈p，(с,d)∈q,則定義p＋q為(α+с,b+d)所在的等價類，pq為(αс+bd,αd+bс)所在的等價類。這樣定義的加法與乘法滿足交換律、結合律與分配律。對於給定的整數p，q，方程p+x=q有惟一的整數解，記為q-p。這種運算稱為減法，它是加法的逆運算。
設(α,b∈p，如果α>b，則稱p為正整數；如果α=b，則稱p為零；如果α<b，則稱p為負整數。設p，q∈Z,如果p-q是正數，則稱p>q或q<p。這樣就能在整數系中建立一個全序。
令自然數n對應於(n+1,1)所在的等價類，就把自然數集嵌入到整數集中。把(n+1,1)所在的等價類仍記為n。把(1,1)所在的等價類記為0,把(1,n+1)所在的等價類記為-n，就有Z={…,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…}。
有理數 古埃及人約於公元前17世紀已使用分數。中國《九章算術》中也載有分數的各種運算。分數的使用導源於除法運算的需要。除法運算可看作求解方程px=q(p≠0)，如果p，q是整數，則所給方程未必有整數解。為了使它恆有解，就有必要把整數系擴大成為有理數系。
關於有理數系的嚴格理論，可用下述方式建立。在Z×(Z\{0})即整數有序對（但第二元不等於零）的集上定義如下的等價關係：設
，如果p1q2=p2q1,則稱(p1，q1)～(p2，q2)。Z×(Z\{0})關於這個等價關係的等價類，稱為有理數。(p，q)所在的有理數,記為
。一切有理數的集記為Q。令整數p對應於
即(p,1)所在的等價類,就能把整數集自然地嵌入到有理數集中。習慣上把仍記為p。 設
為有理數，則定義
為(ps+qr,qs)所在的等價類，
為(pr,qs)所在的等價類。這樣定義的加法與乘法滿足交換律、結合律與分配律。對於給定的有理數α，β，方程α+x=β，αx=β（後者要求α≠0）恆有有理數解。第二個方程的解，稱為α除β所得的商，相應的運算稱為除法。除法是乘法的逆運算。Q 關於加法與乘法構成一個域，稱為有理數域。 設
如果pq是正整數，則稱α是正的，記為α>0。於是仍可用α>β若且唯若α-β>0來規定Q上的全序。這個全序滿足：α>β蘊涵α+γ>β+γ；α>0，β>0蘊涵αβ>0；給定α>0，β>0，存在正整數n，使得β<nα。最後的陳述稱為阿基米德性質。這樣，Q是一個阿基米德有序域。 實數 為表示各種幾何量(例如長度、面積、體積)與物理量（例如速率、力的大小），人類很早已發現有必要引進無理數。約在公元前530年,畢達哥拉斯學派已知道邊長為1的正方形的對角線的長度（即
）不能是有理數。 除了同類量可以相加外，上述這些量的另一顯著特徵是任一量能不斷分割。這種“無窮可分性”，是實數系連續性的體現。
實數系的邏輯基礎直到19世紀70年代才得以奠定。從19世紀20年代肇始的數學分析嚴密化潮流，使得數學家們認識到必須建立嚴格的實數理論，尤其是關於實數系的連續性的理論。在這方面，K.（T.W.）外爾斯特拉斯(1859年開始)、H.C.R.梅雷(1869)、J.W.R.戴德金(1872)與G.（F.P.）康托爾(1872)作出了傑出的貢獻。
大體說來，構造實數系有兩條途徑，一是戴德金的途徑，另一是G.康托爾等人的途徑。
康托爾實數論的出發點，是有理數的基本序列。設
是有理數序列。如果對每個正有理數r，存在自然數N,使當n,m≥N 時,有
,則稱所給序列為一個基本序列，又稱柯西序列。設
是有理數的兩個基本序列，如果對每個正有理數r,存在自然數N,使當n≥N時,有
則稱
這是一個等價關係。有理數基本序列的集關於這個等價關係的等價類，稱為實數。一切實數構成的集，記為R。對有理數α,令序列{α,α,…}所在的等價類（仍稱為有理數α）與之對應,就能把有理數集嵌入於實數集中。不是有理數的實數，稱為無理數。 設x，y是實數,
則定義x+y為
所在的等價類，xy為
所在的等價類。實數集關於這樣定義的加法與乘法構成一個域。 對於實數x，如果存在正有理數r與自然數 N，使當n≥N 時,
,則稱x為正的,記為x>0。於是又可用x>y若且唯若x-y>0來定義R上的一個全序。類似於Q，R也是阿基米德有序域。 由實數構成的基本序列必有極限（柯西準則）。這稱為實數系的完備性。
戴德金實數論的出發點是有理數的劃分。設A，B是Q的非空子集。如果Q=A∪B，且對任何α∈A，β∈B，必有α<β，則稱(A,B)為Q 的一個劃分。有理數的一個劃分定義一個實數。對有理數的任一划分(A,B)，或者A有最大元，B無最小元；或者A無最大元,B有最小元；或者A無最大元，B無最小元。第一、第二兩種情形實質相同，此時稱(A,B)定義一個有理數。在這兩種情形下，令A的最大元或B的最小元對應於(A,B)，就使有理數集自然地嵌入到實數集中。
對於實數x=(A1,B1),y=(A2,B2),如果A1嶅A2,則定義為x≤y。定義
,其中
。如果x≥0，y≥0，則定義
,其中
。其餘情形的乘積由符號法則規定，例如當x≥0，y<0時,定義xy=-(x(-y))。在這樣的定義下,一切實數構成一個阿基米德有序域。 對於實數系R的任一划分(A,B),或者A有最大元，B無最小元;或者A無最大元,B有最小元。這表明對實數系再加以劃分已不能產生新的數。這就是實數系的連續性。
由此可見，實數系可定義為具有完備性或連續性的阿基米德有序域。（見實數）。
複數 從16世紀開始，解高於一次的方程的需要導致複數概念的形成。用配方法解一元二次方程就會遇到負數開平方的問題。G.卡爾達諾在《大法》(1545)中闡述一元三次方程解法時，發現難以避開複數。吉拉爾認為複數至少可以作為代數方程的形式解。也有不少數學家不承認復根，例如笛卡兒。事實上“虛數”這一稱呼就始自笛卡兒。關於複數及其代數運算的幾何表示，是18世紀末到19世紀30年代由C.韋塞爾、J.B.阿爾根和C.F.高斯等人建立的。高斯引進了“複數”這一名詞。
由實數定義複數的方法很多。例如，稱實數的一個有序對(x,y)為一個複數。加法與乘法分別定義為
一切複數的集C 構成一個域,令實數x對應於(x,0)，就使實數域嵌入於複數域中。y≠0的複數(x,y),常稱為虛數。(0,1)稱為虛數單位,記為i。(見複數) 參考書目
艾·蘭道著，劉紱堂譯：《分析基礎》，高等教育出版社，北京，1958。(E.G.H.Landou,Grundlαge der Analyse,Akademischer Verlag, Leipzig, 1934.)
