實數理論

為了對實數連續統進行嚴格描述而產生的理論。實數理論是分析基礎的三大部分之一，另外兩個部分是極限理論、變數與函式。極限理論是數學分析的基本研究方法，而變數與函式是數學分析的基本研究對象。實數理論的成功建立，使得分析基礎形成了一個完整的體系，標誌著由魏爾斯特拉斯倡導的分析算術化運動大致宣告完成。

數學中的數，就像物理中的時間一樣，人人都知道，唯獨專家們不這樣理解它。簡言之，
實數公理：實數空間R是一個完備的阿基米德序域。

概述

實數理論包括對實數的結構,運算法則,和拓撲性質等方面的問題的研究。
實數集有多重結構，例如:
代數結構：從代數上看實數集是一個域。
序結構：實數集是一個有序集。
拓撲結構：實數集是一個拓撲空間,並且有諸如完備性,可分性,和列緊性等一些非常好的性質。
實數理論包含了深刻而豐富的信息,實數理論是極限的基礎,也是近代分析數的最重要基礎之一。

實數集的公理系統一

(I) (R，+，×）為一個域

即 R 上定義了加法+和乘法×運算，且它們構成一個域。

(II) R 為一個全序集

即 R 上定義了一個全序關係 ≤。

(III) R 滿足阿基米德公理

阿基米德公理：b∈R，a>0 則存在 n∈N，使得 n·a>b。

(IV) R 有連續性

R 滿足實數連續性命題。

實數集的公理系統二

(I) 加法公理

確定了一個映射（加法運算）
+：R×R→R，
使得
1. 有中性元 0 存在（叫做加法零元），使對任何的 x∈R，
x+0=0+x=x。
2. 每個元 x∈R 有元 -x∈R，叫做 x 的負元，使得
x+(-x)=(-x)+x=0。
3. 運算 + 是結合的，即R中任何 x,y,z 滿足
x+(y+z)=(x+y)+z。
4. 運算 + 是交換的，即R中的任何 x,y 滿足
x+y=y+x。
加法公理說明，R 是阿貝爾群。

(II) 乘法公理

確定了一個映射（乘法運算）
·：R×R→R，
滿足
1. 有中性元 1∈R\0 存在（叫做單位元），使對任何的 x∈R，
x·1=1·x=x。
2. 每個元 x∈R\0 有元 y∈R\0 ，叫x的逆元，如果
x·y=y·x=1。
3. 運算是結合的，即任何 x,y,z 滿足
x·(y·z)=(x·y)·z。
4. 運算 + 是交換的，即 R 中的任何 x,y 滿足
x·y=y·x。
加法公理說明，集 R\0 關於乘法是(乘法)群。

(I,II) 加法與乘法的聯繫

乘法對加法有分配性，即對任何 x,y,z ∈R，
x+(y·z)=x·z+y·z。
以上所有公理表明，R 是一個代數域。

(III) 序公理

R的元素間有關係 ≤，即對R的元素 x 與 y，或滿足 x≤y，或不滿足。同時有
1. 對任何x∈R，x≤x。
2. (x≤y)且(y≤x)蘊含(x=y)。
3. (x≤y)且(y≤z)蘊含(x≤z)。
4. 對任何x,y∈R，或者(x≤y)，或者(y≤x)。
這說明實數集對它的元素間的不等關係來說，是線性序(或全序)集。

(I,III) R中加法與序關係的聯繫

如果x,y,z是R中的元素，那么
(x≤y)蘊含(x+z≤y+z)。

(II,III) R中乘法與序關係的聯繫

如果x,y,z是R中的元素，那么
(0≤x)且(0≤y)蘊含(0≤x·y)。

(IV) 完備(連續)公理

如果 X 與 Y 是 R 的非空子集，且對任何 x∈X，y∈Y，有 x≤y，那么，存在 c∈R，使對任何 x∈X，y∈Y 有x≤c≤y。
以上兩個實數公理系統是等價的。可以看出，它們只在對待阿基米德原理上有所不同。在公理系統二中，阿基米德原理可作為公理的推論（這是因為公理系統二相對於一額外定義了序關係與加法乘法運算的關係）。
滿足這些公理的任何集合 R，都可被認為是實數集的具體實現，或稱為實數模型。

實數模型

一、十進位小數模型二、柯西數列模型三、戴德金分劃模型

實數的連續性命題

一、上（下）確界原理

有上（下）界的非空數集有上（下）確界。

二、單調有界數列

單調增（減）有上（下）界的數列必收斂。

三、閉區間套引理

（柯西-康托爾原理）
任何有界閉區間套存在一點 c 屬於這些閉區間的每一個。且如果區間長度趨於 0，那么 c 是所有閉區間的唯一公共點。

四、有限覆蓋引理

（博雷爾-勒貝格原理）
在覆蓋一個閉區間的任何開區間族中，存在著覆蓋這一閉區間的有限子族。

五、極限點引理

（波爾查諾-魏爾斯特拉斯原理）
每個無窮有界集至少有一個極限點。

六、有界閉區間的序列緊性

有界數列必有收斂子列。

七、完備性

柯西列必收斂。
以上七條命題等價。在引入實數時，不論是以何種方式，都應證明七個實數連續性等價命題之一成立，從而其它六個也成立。