流數

流數(fluxion) 1665年5月20日,英國傑出物理學家牛頓第一次提出“流數術”(即微積分),後來世人就以這天作為“微積分誕生日”。牛頓將古希臘以來求解無窮小問題的種種特殊方法統一為兩類算法:正流數術(微分)和反流數術(積分),反映在1669年的《運用無限多項方程》、1671年的《流數術與無窮級數》、1676年的《曲線求積術》三篇論文和《原理》一書中,以及被保存下來的1666年10月他寫的在朋友們中間傳閱的一篇手稿《論流數》中。

概述

所謂“流量”就是隨時間而變化的自變數如x、y、s、u等,“流數”就是流量的改變速度即變化率,寫作等。他說的“差率”“變率”就是微分。與此同時,他還在1676年首次公布了他發現的二項式展開定理。牛頓利用它還發現了其他無窮級數,並用來計算面積、積分、解方程等等。牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》,這本書直到1736年才出版,它在這本書里指出,變數是由點、線、面的連續運動產生的,否定了以前自己認為的變數是無窮小元素的靜止集合。他把連續變數叫做流動量,把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是:已知連續運動的路徑,求給定時刻的速度(微分法);已知運動的速度求給定時間內經過的路程(積分法)微積分是研究函式的微分、積分以及有關概念和套用的數學分支。微積分是建立在實數、函式和極限的基礎上的。

《流數法和無窮級數》

編寫背景

《流數法和無窮級數》(Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum),英國數學家、物理學家、天文學家和自然哲學家牛頓著。撰於1671年。這是牛頓在數學方面的代表作,其中將1666年10月的流數短論進行了擴充。其英譯本於1736年出版,但原拉丁文本直到1779年才出版。牛頓生前一直在利用這部著作,其手稿形式便由於一些數學家借閱而廣為人知 。

內容簡介

《流數法與無窮級數》對於牛頓的流數分析方法提供了比《運用無窮多項方程的分析學》更一般、更好的闡述。其前一部分包含了後一本書的擴充,並且包括用於求解代數方程和微分方程的無窮級數法(待定係數法)的詳細討論。接著,以20個正式敘述的問題為標題,相當廣泛地收集了牛頓的級數法和流數法的套用實例。“流數法”反映了這一理論的力學背景,流數被定義為可借運動描述的連續量——流量的變化率。牛頓表述流數法的基本問題為:已知流量間的關係,求它們的流數的關係以及逆運算。在“問題3一一極大值和極小值的確定”中,牛頓給出了下述原理:當一個量取極大值或極小值時,它的流數既不增加也不減少……所以求出它的流數,併合迄今流數等於零。這裡,牛頓的意思是,使f’(x)=0的點即是f(x)的極值點。他列舉了能用這種方法求解的9個幾何問題,如問題4是作曲線的切線。在該書中,牛頓繼續使用無窮小瞬作為流數計算的基礎,他記時間的瞬為0,它所引起的流量的瞬為 , ,…他在具體計算中指出那些含0的項可被看作零而略去

《流數法與無窮級數》中還包括兩個積分表。第一個表的標題是:“與直線圖形有關的曲線一覽表”,其中列出了相應的面積能夠通過微分或反微分明確算出的一些曲線。第二個表是:“與圓錐曲線有關的曲線一覽表”,其中列出了一些曲線,其相應的面積能夠通過適當的圓錐曲線下的面積來表示。牛頓列舉了一些面積的計算,以說明他的積分表的套用。

附錄

在該著作的一個附錄(1969年才首次發表)中,牛頓發展了一種曲線的“最初與最終比”的幾何理論,後來部分地納入了1687年出版的《自然哲學的數學原理》第一編第一章及後來的《論曲線的求積》中 。

流數出現的意義

流數的出現,成了數學發展中除幾何與代數以外的另一重要分支——數學分析(牛頓稱之為“藉助於無限多項方程的分析”),並進一步進進發展為微分幾何、微分方程、變分法等等,這些又反過來促進了理論物理學的發展。例如瑞士J.伯努利曾徵求最速降落曲線的解答,這是變分法的最初始問題,半年內全歐數學家無人能解答。1697年,一天牛頓偶然聽說此事,當天晚上一舉解出,並匿名刊登在《哲學學報》上。伯努利驚異地說:“從這鋒利的爪中我認出了雄獅”。

牛頓在前人工作的基礎上,提出“流數(fluxion)法”,建立了二項式定理,並和G.W.萊布尼茨幾乎同時創立了微積分學,得出了導數、積分的概念和運算法則,闡明了求導數和求積分是互逆的兩種運算,為數學的發展開闢了一個新紀元。目前在天文學、力學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及套用科學個分支中,有越來越廣泛的套用。特別是計算機的發明更有助於這些套用的不斷發展 。

相關詞條

相關搜尋

熱門詞條

聯絡我們